공통수학2유리함수와 무리함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

비례식과 식의 값

문제

x+y2z=y+2zx=2z+xy\displaystyle \frac{x + y}{2 z} = \frac{y + 2 z}{x} = \frac{2 z + x}{y}일 때, x3+y3+z3xyz\displaystyle \frac{x ^{3} + y ^{3} + z ^{3}}{xyz}의 값은? (단, x+y+2z≠0x + y + 2 z \ne 0) [4점] ①174\displaystyle \frac{17}{4}②92\displaystyle \frac{9}{2}③194\displaystyle \frac{19}{4}④55⑤214\displaystyle \frac{21}{4}

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①

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해설

[출제의도] 비례식을 이용하여 유리식의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. x+y2z=y+2zx=2z+xy=k\displaystyle \frac{x + y}{2 z} = \frac{y + 2 z}{x} = \frac{2 z + x}{y} = k라 하자. 그러면 x+y=2zkx + y = 2 zk …㉠ y+2z=xky + 2 z = xk …㉡ 2z+x=yk2 z + x = yk …㉢ ㉠++㉡++㉢을 하면 2(x+y+2z)=k(x+y+2z)2 ( x + y + 2 z ) = k ( x + y + 2 z ) 조건에서 x+y+2z≠0x + y + 2 z \ne 0이므로 양변을 x+y+2zx + y + 2 z로 나누면 k=2k = 2 ㉠−-㉡을 하면 x−2z=2(2z−x)x - 2 z = 2 ( 2 z - x )이므로 2z=x2 z = x…㉣ ㉡−-㉢을 하면 y−x=2(x−y)y - x = 2 ( x - y )이므로 x=yx = y…㉤ ㉣, ㉤에서 x=y=2zx = y = 2 z ∴ x3+y3+z3xyz=17z34z3=174\displaystyle \frac{x ^{3} + y ^{3} + z ^{3}}{xyz} = \frac{17 z ^{3}}{4 z ^{3}} = \frac{17}{4}

태그

#비례식#가비의 리

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