확률과 통계통계적 추정수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

비누 세트 불량률

문제

어느 회사에서 생산되는 비누의 무게는 정규분포를 따르며, 무게가 100g100 \mathrm{g}미만인 것은 불량품으로 판정한다. 회사에서는 판매 촉진을 위해 비누를 4개씩 포장하여 만든 세트 상품을 판매하기로 하였다. 각 세트 상품은 그 안에 들어 있는 비누 무게의 평균이 100g100 \mathrm{g}미만인 경우에 불량품으로 판정된다고 할 때, 상품 10001000세트 중 1세트의 비율로 불량품이 생긴다고 한다. 회사에서 생산된 비누 1개를 검사할 때, 불량품으로 판정될 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? (단, 포장지의 무게는 무시한다.) [4점]

<표준정규분포표>
zzP(0≤Z≤z)P ( 0 \leq Z \leq z )
1.01.00.3410.341
1.51.50.4330.433
2.02.00.4770.477
2.52.50.4940.494
3.03.00.4990.499

①0.0010.001②0.0060.006③0.0230.023④0.0670.067⑤0.1590.159

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④

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해설

비누 1개의 무게에 대한 확률변수 XX가 정규분포 N(m,σ2)N ( m , \sigma ^{2} )을 따른다고 하자. 비누를 4개씩 묶은 제품의 무게의 평균 X‾\displaystyle \overline{X}는 정규분포 N(m,(σ2)2)\displaystyle N \left( m , \left( \frac{\sigma}{2} \right) ^{2} \right)을 따른다. 따라서 P(X‾<100)=0.001\displaystyle P ( \overline{X} < 100 ) = 0.001이므로 P(X‾<100)=P(Z<100−mσ2)=P(Z<2(100−m)σ)\displaystyle P ( \overline{X} < 100 ) = P \left( Z < {\frac{100 - m}{\frac{\sigma}{2}} ) = P \left( Z < \frac{2 ( 100 - m )}{\sigma} \right)} \right. =0.5−P(0<Z≤2(100−m)σ)=0.001\displaystyle = 0.5 - P \left( 0 < Z \leq \frac{2 ( 100 - m )}{\sigma} \right) = 0.001 이다. 따라서 P(0<Z<−2(100−m)σ)=0.499\displaystyle P \left( 0 < Z < - \frac{2 ( 100 - m )}{\sigma} \right) = 0.499이므로 −2(100−m)σ=3\displaystyle - \frac{2 ( 100 - m )}{\sigma} = 3이다. 즉, 100−mσ=−1.5\displaystyle \frac{100 - m}{\sigma} = - 1.5이다. 그러므로 비누 1개를 검사했을 때 불량품으로 판정될 확률은 다음과 같다. P(X<100)=P(Z≤100−mσ)=P(Z<−1.5)\displaystyle P ( X < 100 ) = P \left( Z \leq \frac{100 - m}{\sigma} \right) = P ( Z < - 1.5 ) =0.5−P(0<Z<1.5)=0.5−0.433=0.067= 0.5 - P ( 0 < Z < 1.5 ) = 0.5 - 0.433 = 0.067 따라서 구하는 확률은 0.0670.067이다.

태그

#표본평균#정규분포

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