중학중학 미분류수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

빌딩 높이 삼각비

문제

그림과 같이 아파트 옥상의 한 지점을 $\mathrm{A}$ , 고층 빌딩 옥상의 한 지점을 $\mathrm{B}$ 라 하고 두 점 $\mathrm{A}$ , $\mathrm{B}$ 에서 평평한 지면에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{C}$ , $\mathrm{D}$ 라 하자. 또, 나무의 꼭대기 지점을 $\mathrm{E}$ 라 하고 점 $\mathrm{E}$ 에서 지면에 내린 수선의 발을 $\mathrm{F}$ 라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{CF}} = \overline{FD} = 45 m$ , $\displaystyle \mathrm{\overline{EF}} = 30 \mathrm{m}$ 이다. 점 $\mathrm{A}$ 에서 선분 $\mathrm{BD}$ 에 내린 수선의 발을 $\mathrm{G}$ 라 하면 $\mathrm{\angle} BAG = 30 ^\circ$ , $\mathrm{\angle} EAG = 45 ^\circ$ 일 때, 선분 $\mathrm{BD}$ 의 길이는 $a \mathrm{m}$ 이다. $a$ 의 값은? (단, 세 점 $\mathrm{C}$ , $\mathrm{F}$ , $\mathrm{D}$ 는 일직선 위에 있다.) [4점]

① $\displaystyle 70 + 30 \sqrt{3}$ ② $\displaystyle 75 + 30 \sqrt{3}$ ③ $\displaystyle 75 + 35 \sqrt{3}$ ④ $\displaystyle 80 + 35 \sqrt{3}$ ⑤ $\displaystyle 85 + 35 \sqrt{3}$

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②

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해설

[출제의도] 삼각비의 값을 활용하여 높이를 구하는 실생활 문제를 해결한다.

선분 $\mathrm{EF}$ 의 연장선이 선분 $\mathrm{AG}$ 와 만나는 점을 $\mathrm{H}$ 라 하자. 직각삼각형 $\mathrm{AEH}$ 에서 $\displaystyle \tan 45 ^\circ = \frac{{\overline{\mathrm{HE}}}}{{\overline{\mathrm{AH}}}}$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{HE}}$ $\displaystyle = \mathrm{\overline{AH}} \tan 45 ^\circ$ $= 45 \tan 45 ^\circ$ $= 45$ 직각삼각형 $\mathrm{AGB}$ 에서 $\displaystyle \tan 30 ^\circ = \frac{{\overline{\mathrm{BG}}}}{{\overline{\mathrm{AG}}}}$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{BG}}$ $\displaystyle = \mathrm{\overline{AG}} \tan 30 ^\circ$ $= 90 \tan 30 ^\circ$ $\displaystyle = 90 \times \frac{\sqrt{3}}{3}$ $\displaystyle = 30 \sqrt{3}$ 그러므로 구하는 값은 $\displaystyle \mathrm{\overline{BD}}$ $\displaystyle \mathrm{=} {\overline{BG}} + \mathrm{\overline{GD}}$ $\displaystyle \mathrm{=} {\overline{BG}} + \mathrm{\overline{HE}} + {\overline{EF}}$ $\displaystyle = 30 \sqrt{3} + 45 + 30$ $\displaystyle = 75 + 30 \sqrt{3}$

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