블록 들어내기 규칙과 극한

$2 ^{n+1}$열짜리 블록의 개수는 $1 , 2 , 3 , 4 , \cdots , 2 ^{n} , \cdots , 2 ^{n+1}$ ⋯⋯ ㉠ ㉠에서 $1$회 시행후 홀수는 그대로 두고 짝수는 $2$로 나누어 나타내면 $1 , 3 , 5 , 7 , \cdots , ( 2 ^{n+1} - 1 )$ ⋯⋯ ㉡ 과 $1 , 2 , 3 , 4 , \cdots , 2 ^{n}$ ⋯⋯ ㉢ 으로 표시된다. 시행을 모두 마쳤을 때, 남은 블록의 합은 i) ㉠은 $f ( 2 ^{n+1} )$ ii) ㉡은 $1 , 3 , 5 , 7 , \cdots , ( 2 ^{n+1} - 1 )$$\displaystyle = \frac{2 ^{n} ( 2 ^{n+1} - 1 + 1 )}{2} = 2 ^{2n} = 4 ^{n}$ iii) ㉢은 $f ( 2 ^{n} )$ ∴ $f ( 2 ^{n+1} ) = 4 ^{n} + f ( 2 ^{n} )$ $\displaystyle f ( 2 ^{n} ) = f ( 2 ^{1} ) + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} 4 ^{k}$$\displaystyle = 2 + \frac{4 ( 4 ^{n-1} - 1 )}{4 - 1}$$\displaystyle = \frac{4 ^{n} + 2}{3}$ ∴ $\displaystyle \frac{q}{p} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{4 ^{n}}{\frac{4 ^{n+1} + 2}{3}} = \frac{3}{16}$ ∴ $p + q = 16 + 3 = 19$