버튼 이동 경우의 수

한 번 누를 때마다 좌표평면 위의 점 ${\mathrm{P}}$를 다음과 같이 이동시키는 두 버튼 ㉠, ㉡이 있다.

[버튼 ㉠] 그림과 같이 길이가 $\displaystyle \sqrt{2}$인 선분을 따라 점 $( x , y )$에 있는 점 ${\mathrm{P}}$를 점 $( x + 1 , y + 1 )$로 이동시킨다.

[버튼 ㉡] 그림과 같이 길이가 $\displaystyle \sqrt{5}$인 선분을 따라 점 $( x , y )$에 있는 점 ${\mathrm{P}}$를 점 $( x + 2 , y + 1 )$로 이동시킨다.

예를 들어, 버튼을 ㉠, ㉠, ㉡ 순으로 누르면 원점 $( 0 , 0 )$에 있는 점 ${\mathrm{P}}$는 아래 그림과 같이 세 선분을 따라 점 $( 4 , 3 )$으로 이동한다. 또한 원점 $( 0 , 0 )$에 있는 점 ${\mathrm{P}}$를 점 $( 4 , 3 )$으로 이동시키도록 버튼을 누르는 경우는 ㉠㉠㉡, ㉠㉡㉠, ㉡㉠㉠으로 $3$가지이다.

원점 $( 0 , 0 )$에 있는 점 ${\mathrm{P}}$를 두 점 ${\mathrm{A}} ( 5 , 5 )$, ${\mathrm{B}} ( 6 , 4 )$중 어느 점도 지나지 않고 점 ${\mathrm{C}} ( 9 , 7 )$로 이동시키도록 두 버튼 ㉠, ㉡을 누르는 경우의 수를 구하시오. [4점]