공통수학2유리함수와 무리함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

번분수식 계수

문제

$x \ne - 1$ , $x \ne - 3$ 인 모든 실수 $x$ 에 대하여 등식 $\displaystyle \frac{x}{1 + \frac{2}{x + 1}} = x + a + \frac{b}{x + 3}$ 가 성립할 때, $a + b$ 의 값을 구하시오. (단, $a$ , $b$ 는 상수이다.) [3점]

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[출제의도] 유리식을 계산하여 문제해결하기 $\displaystyle \begin{aligned} \frac{x}{1 + \frac{2}{x + 1}} & = \frac{x}{\frac{x + 3}{x + 1}} & = \frac{x ^{2} + x}{x + 3} \end{aligned}$ $\displaystyle = x - 2 + \frac{6}{x + 3}$ 따라서 $\displaystyle x - 2 + \frac{6}{x + 3} = x + a + \frac{b}{x + 3}$ 에서 $a = - 2 , b = 6$ 이므로 $a + b = 4$ 이다.

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