중학중학 미분류수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

벨트와 바퀴 호의 길이

문제

그림과 같이 반지름의 길이가 각각 7,27 , 2인 원모양의 두 바퀴에 벨트가 팽팽하게 감겨 있다. 두 바퀴의 중심 사이의 거리가 1010일 때, 벨트와 바퀴가 닿은 두 부분의 길이의 합은 baπ\displaystyle \frac{b}{a} \pi이다. a+ba + b의 값을 구하시오. (단, aa와 bb는 서로소인 자연수이고, 벨트의 두께는 무시한다.) [4점]

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35

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해설

[출제의도] 삼각비를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 그림과 같이 색칠된 직각삼각형에서 세 변의 길이의 비가 2:1:3\displaystyle 2 : 1 : \sqrt{3} 이므로 세 각의 크기는 90∘,30∘,60∘90 ^\circ , 30 ^\circ , 60 ^\circ이다.

60∘60 ^{^\circ}

(큰 원과 닿은 부분의 길이)=14π×240360=283π\displaystyle = 14 \pi \times \frac{240}{360} = \frac{28}{3} \pi (작은 원과 닿은 부분의 길이)=4π×120360=43π\displaystyle = 4 \pi \times \frac{120}{360} = \frac{4}{3} \pi 따라서 벨트와 바퀴가 닿은 두 부분의 길이의 합은 323π\displaystyle \frac{32}{3} \pi 이다. ∴ a+b=35a + b = 35

태그

#부채꼴 호의 길이#접선

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