반원의 접선과 사인

[출제의도] 피타고라스 정리와 원의 성질을 이용하여 삼각비의 값을 구한다.

점 $\mathrm{M}$에서 반원에 그은 접선이 반원과 접하는 점을 $\mathrm{Q}$라 하자. 원과 접선의 성질에 의하여 두 선분 $\mathrm{MQ}$와 $\mathrm{OQ}$는 서로 수직이고, $\displaystyle \overline{\mathrm{OQ}} = 3$이다. 직각삼각형 $\mathrm{QOM}$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{QM} \mathit{}}} ^{2}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{MO} \mathit{}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{QO}}} ^{2}$$= 5 ^{2} - 3 ^{2} = 16$ 따라서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{QM}}} = 4$이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} / / {\overline{\mathrm{MO}}}$이므로 엇각의 성질에 의하여 $\angle \mathrm{APM} = \angle \mathrm{QMO}$ $\cdots$① $\angle \mathrm{AMO} = 90 ^\circ$이므로 $\angle \mathrm{AMP} + \angle \mathrm{QMO} = 90 ^\circ$ $\cdots$ ㉠ 직각삼각형 $\mathrm{QOM}$에서 $\angle \mathrm{QMO} + \angle \mathrm{QOM} = 90 ^\circ$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $\mathrm{\angle} AMP = \angle QOM$ $\cdots$ ② $\displaystyle \overline{\mathrm{AM}} = \frac{1}{2} \overline{\mathrm{AD}} = 3$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AM}} = \overline{\mathrm{QO}}$ $\cdots$ ③ ①, ②, ③에 의하여 삼각형 $\mathrm{APM}$과 삼각형 $\mathrm{QMO}$는 합동이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} = {\overline{\mathrm{QM}}} = 4$ 따라서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BP}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{AB}}} - {\overline{\mathrm{AP}}}$$= 5 - 4 = 1$ 직각삼각형 $\mathrm{PBO}$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OP}}} ^{2}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{PB} \mathit{}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{BO}}} ^{2}$$= 1 ^{2} + 3 ^{2} = 10$ 이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}} = \sqrt{10}$이다. 따라서 $\sin x$$\displaystyle = \frac{{\overline{\mathrm{PB}}}}{{\overline{\mathrm{OP}}}}$$\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$ [다른 풀이]

$\displaystyle \overline{\mathrm{PB}} = a$라 하자. 원과 접선의 성질에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}} = {\overline{\mathrm{PB}}} = a$, $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{AB}} - \overline{\mathrm{PB}} = 5 - a$ 직각삼각형 $\mathrm{MQO}$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{QM} \mathit{}}} ^{2}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{MO} \mathit{}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{QO}}} ^{2}$$= 5 ^{2} - 3 ^{2} = 16$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{QM}}} = 4$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PM}} = \overline{\mathrm{PQ}} + \overline{\mathrm{QM}} = a + 4$ 직각삼각형 $\mathrm{APM}$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PM}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{AP}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{AM} \mathit{}}} ^{2}$ $( a + 4 ) ^{2} = ( 5 - a ) ^{2} + 3 ^{2}$ $a ^{2} + 8 a + 16 = ( a ^{2} - 10 a + 25 ) + 9$ $18 a = 18$, $a = 1$ 직각삼각형 $\mathrm{PBO}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PB}} = 1$이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BO}}} = 3$이므로 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{PO}}} ^{2}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{PB} \mathit{}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{BO}}} ^{2}$ $= 1 ^{2} + 3 ^{2} = 10$ $\displaystyle \overline{\mathrm{PO}} = \sqrt{10}$ 따라서 $\sin x$$\displaystyle = \frac{{\overline{\mathrm{PB}}}}{{\overline{\mathrm{OP}}}}$$\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$