반원 위 삼각형 넓이

[출제의도] 원의 성질을 이해하고 도형의 넓이 구하기

원의 중심을 $\mathrm{O}$라 하자. $\mathrm{\triangle} ABC$의 넓이가 11이므로, $\displaystyle \frac{\mathrm{1}}{2} \overline{AC} \cdot \overline{BC} = 11 , \overline{AC} \cdot \overline{BC} = 22$ …① $\mathrm{\triangle} ABC$가 직각삼각형이므로, $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} ^{2} + {\overline{BC}} ^{2} = {\overline{AB}} ^{2}$ … ② ①, ②에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} + \overline{BC} = 12$ … ③ 한편 $\displaystyle \mathrm{\overline{AC}} \perp \overline{OP}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BC}} \perp \overline{OQ}$일 때, $\triangle \mathrm{ACP}$와 $\triangle \mathrm{BCQ}$의 넓이가 각각 최대이다. $\triangle \mathrm{ACP} \text{와} \triangle BCQ$의 넓이의 합의 최댓값은 $\mathrm{\square} AOCP + \square BQCO - \triangle ABC$ $\displaystyle \mathrm{=} \frac{1}{2} \times 5 \times \overline{AC} + \frac{1}{2} \times 5 \times \overline{BC} - 11$ $\displaystyle \mathrm{=} \frac{1}{2} \times 5 \times \left( \overline{AC} + \overline{BC} \right) - 11$ $\displaystyle \mathrm{=} \frac{1}{2} \times 5 \times 12 - 11$ ($\because \text{ ③}$에 의하여) $= 19$