반원 접선 길이

[출제의도] 원의 접선의 성질과 삼각형의 닮음을 이용하여 선분의 길이를 구한다.

$\displaystyle \mathrm{\overline{BF}} = \mathit{x}$라 하자. 두 점 $\mathrm{B}$, $\mathrm{H}$가 점 $\mathrm{F}$에서 원에 그은 두 접선의 접점과 같으므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BF}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{FH}}$ 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{H}$가 점 $\mathrm{D}$에서 원에 그은 두 접선의 접점과 같으므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{DH}}$$= 3$ 직각삼각형 $\mathrm{DFC}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{DF}} = \mathit{x} + 3$ $\displaystyle \mathrm{\overline{FC}} = 3 - \mathit{x}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{DC}} = 2 \sqrt{3}$ 이므로 피타고라스 정리에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{DF}} ^{2} = {\overline{FC}} ^{2} + {\overline{DC}} ^{2}$ $\displaystyle \left( x + 3 \right) ^{2} = \left( 3 - x \right) ^{2} + \left( 2 \sqrt{3} \right) ^{2}$ $x ^{2} + 6 x + 9 = 9 - 6 x + x ^{2} + 12$ $12 x = 12$ $x = 1$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{BF}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{FH}}$$= 1$ 같은 방법으로 나머지 변의 길이를 구하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{AE}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{EG}}$$= 1$ $\displaystyle \mathrm{\overline{ED}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{FC}}$$= 2$ 그러므로 사각형 $\mathrm{EFCD}$는 직사각형이다. 직사각형 $\mathrm{EFCD}$의 대각선의 교점을 $\mathrm{I}$라 하면 직사각형의 대각선은 서로 다른 것을 이등분하므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{DF}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{EC}}$$= 4$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{EI}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{FI}}$$= 2$ $\displaystyle \mathrm{\overline{EG}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{FH}}$$= 1$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{IG}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{IH}}$$= 1$ 두 삼각형 $\mathrm{IGH}$, $\mathrm{IEF}$에서 $\mathrm{\angle} HIG$는 공통인 각 $\cdots$$\cdots$ ㉠ $\displaystyle \mathrm{\overline{IG}} : \overline{IE} = 1 : 2$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{IH}} : \overline{IF} = 1 : 2$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 두 삼각형 $\mathrm{IGH}$, $\mathrm{IEF}$는 닮음비가 $1 : 2$인 도형이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{EF}} = 2 \sqrt{3}$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{GH}} : \overline{EF} = 1 : 2$이므로 $\displaystyle 2 \mathrm{\overline{GH}} = 2 \sqrt{3}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{GH}} = \sqrt{3}$ [다른 풀이]

$\displaystyle \mathrm{\overline{BF}} = \mathit{x}$라 하자. 두 점 $\mathrm{B}$, $\mathrm{H}$가 점 $\mathrm{F}$에서 원에 그은 두 접선의 접점과 같으므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{BF}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{FH}}$ 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{H}$가 점 $\mathrm{D}$에서 원에 그은 두 접선의 접점과 같으므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{DH}}$$= 3$ 직각삼각형 $\mathrm{DFC}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{DF}} = \mathit{x} + 3$ $\displaystyle \mathrm{\overline{FC}} = 3 - \mathit{x}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{CD}} = 2 \sqrt{3}$ 이므로 피타고라스 정리에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{DF}} ^{2} = {\overline{FC}} ^{2} + {\overline{CD}} ^{2}$ $\displaystyle \left( x + 3 \right) ^{2} = \left( 3 - x \right) ^{2} + \left( 2 \sqrt{3} \right) ^{2}$ $x ^{2} + 6 x + 9 = 9 - 6 x + x ^{2} + 12$ $12 x = 12$, $x = 1$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{BF}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{FH}}$$= 1$ 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 반원의 중심을 $\mathrm{O}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{OB}}$$\displaystyle \mathrm{=} {\overline{OH}}$$\displaystyle = \sqrt{3}$, $\mathrm{\angle} OBF$$\mathrm{=} \angle OHF$$= 90 ^\circ$이므로 $\mathrm{\tan} \left( \angle BOF \right)$$\displaystyle \mathrm{=} \frac{{\overline{BF}}}{{\overline{OB}}}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{{3}}$에서 $\mathrm{\angle} BOF$$= 30 ^\circ$ 같은 방법으로 나머지 각을 구하면 $\mathrm{\angle} HOF$$\mathrm{=} \angle EOG$$\mathrm{=} \angle AOE$$= 30 ^\circ$ 그러므로 $\mathrm{\angle} GOH = 60 ^\circ$이고 $\displaystyle \mathrm{\overline{OG}}$$\displaystyle \mathrm{=} {\overline{OH}}$이므로 삼각형 $\mathrm{GOH}$는 정삼각형이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{GH}}$$\displaystyle = \sqrt{3}$