방정식의 자연수 해

[출제의도] 중복조합 이해하기 $3 x + y + z + w = 11$에서 $y + z + w = 11 - 3 x$ $y' = y - 1$, $z' = z - 1$, $w' = w - 1$ ($y'$, $z'$, $w'$은 음이 아닌 정수)라 하면 $( y' + 1 ) + ( z' + 1 ) + ( w' + 1 ) = 11 - 3 x$ $y' + z' + w' = 8 - 3 x$ (ⅰ) $x = 1$일 때 방정식 $y' + z' + w' = 5$를 만족시키는 음이 아닌 정수 $y'$, $z'$, $w'$의 모든 순서쌍 $( y' , z' , w' )$의 개수는 서로 다른 $3$개에서 $5$개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 ${} _{3} \mathrm{H} _{5} = _{7} \mathrm{C} _{5} = 21$ (ⅱ) $x = 2$일 때 방정식 $y' + z' + w' = 2$를 만족시키는 음이 아닌 정수 $y'$, $z'$, $w'$의 모든 순서쌍 $( y' , z' , w' )$의 개수는 서로 다른 $3$개에서 $2$개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 ${} _{3} \mathrm{H} _{2} = _{4} \mathrm{C} _{2} = 6$ (ⅲ) $x \geq 3$일 때 방정식 $y' + z' + w' = 8 - 3 x$를 만족시키는 음이 아닌 정수 $y'$, $z'$, $w'$의 순서쌍 $( y' , z' , w' )$은 존재하지 않는다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 모든 순서쌍 $( x , y , z , w )$의 개수는 $21 + 6 = 27$