방정식의 자연수 해

[출제의도] 중복조합을 이해하여 경우의 수를 구한다. $a' = a - 1$, $b' = b - 1$, $c' = c - 1$, $d' = d - 1$이라 하면 $a + b + c + 3 d = 10$에서 $\left( a' + 1 \right) + \left( b' + 1 \right) + \left( c' + 1 \right) + 3 \left( d' + 1 \right) = 10$ $a' + b' + c' + 3 d' = 4$ 이때 $a'$, $b'$, $c'$, $d'$은 모두 음이 아닌 정수이다. (ⅰ) $d' = 0$인 경우 $a' + b' + c' = 4$를 만족시키는 음이 아닌 정수 $a'$, $b'$, $c'$의 모든 순서쌍의 개수는 ${} _{3} \mathrm{H} _{4}$$= _{3 + 4 - 1} \mathrm{C} _{4}$$= _{6} \mathrm{C} _{4}$$= 15$ (ⅱ) $d' = 1$인 경우 $a' + b' + c' = 1$을 만족시키는 음이 아닌 정수 $a'$, $b'$, $c'$의 모든 순서쌍의 개수는 ${} _{3} \mathrm{H} _{1}$$= _{3 + 1 - 1} \mathrm{C} _{1}$$= _{3} \mathrm{C} _{1}$$= 3$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 모든 순서쌍의 개수는 $15 + 3$$= 18$