반복 내분점 수열의 극한

$\displaystyle \overline{AB}$를 $3 : 1$로 내분하는 점 $A _{1}$은 $\displaystyle A _{1} ( a _{1} ) = \frac{3 \cdot 7 + 1 \cdot 3}{3 + 1} = \frac{21 + 3}{4} = 6 \cdots$(1) $\displaystyle \overline{A _{1} A}$를 $3 : 1$로 내분하는 점 $A _{2}$는 $\displaystyle A _{2} ( a _{2} ) = \frac{3 \cdot 3 + 1 \cdot 6}{3 + 1} = \frac{15}{4} \cdots$(2) 따라서, $\displaystyle \overline{A _{n+1} A _{n}}$을 $3 : 1$로 내분하는 점 $A _{n+2} ( a _{n+2} )$는 $\displaystyle a _{n+2} = \frac{3 \cdot a _{n} + 1 \cdot a _{n+1}}{3 + 1} = \frac{3 a _{n} + a _{n+1}}{4}$ $\displaystyle a _{n+2} - a _{n+1} = - \frac{3}{4} ( a _{n+1} - a _{n} )$ 즉, 계차수열이 공비가 $\displaystyle - \frac{3}{4}$인 등비수열이 된다. 계차수열의 초항은 식 (1)과 (2)에 의해 $\displaystyle a _{2} - a _{1} = \frac{15}{4} - 6 = - \frac{9}{4}$ $\displaystyle \therefore a _{n} = 6 + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \left( - \frac{9}{4} \right) \cdot \left( - \frac{3}{4} \right) ^{k - 1}$ 따라서, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \left\{ 6 + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \left( - \frac{9}{4} \right) \cdot \left( - \frac{3}{4} \right) ^{k - 1} \right\}$ $\displaystyle = 6 + \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} \left( - \frac{9}{4} \right) \cdot \left( - \frac{3}{4} \right) ^{k - 1}$ $\displaystyle = 6 + \frac{- \frac{9}{4}}{1 - \left( - \frac{3}{4} \right)}$$\displaystyle = \frac{33}{7}$ 따라서, $a + b = 33 + 7 = 40$