반비례 그래프와 삼각형

[출제의도] 정비례 관계, 반비례 관계를 이해하여 상수의 값을 구한다.

점 $R$의 좌표를 $( p , q )$라 하면 점 $P$의 좌표는 $p$이다. 두 점 $R$, $Q$는 정비례 관계 $y = nx$의 그래프 위의 점이고, 점 $Q$의 $x$좌표가 점 $R$의 좌표의 $2$배이므로 점 $Q$의 좌표는 $( 2 p , 2 q )$이다. 두 점 $P$, $Q$는 반비례 관계 $\displaystyle y = \frac{a}{x}$의 그래프 위의 점이고, 점 $P$의 $x$좌표가 점 $Q$의 좌표의 $\displaystyle \frac{1}{2}$배이므로 점 $P$의 $y$좌표는 점 $Q$의 좌표의 $2$배이다. 그러므로 점 $P$의 좌표는 $( p , 4 q )$이다. 점 $Q$에서 선분 $RP$에 내린 수선의 발을 $H$라 하면 $\displaystyle {\overline{QH}} = 2 p - p = p$ $\displaystyle {\overline{RP}} = 4 q - q = 3 q$ $\displaystyle \triangle PRQ = \frac{1}{2} \times {\overline{RP}} \times {\overline{QH}} = \frac{1}{2} \times 3 q \times p = \frac{3}{2} pq$ $\displaystyle \triangle PRQ = \frac{3}{2}$이므로 $pq = 1$ 점 $P ( p , 4 q )$는 반비례 관계 $\displaystyle y = \frac{a}{x}$의 그래프 위의 점이므로 $\displaystyle 4 q = \frac{a}{p}$ , $a = 4 pq$ 따라서 $a = 4$