반비례 그래프와 직각삼각형

직각삼각형 ${\mathrm{ACB}}$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} ^{2} \mathit{=} 3 ^{2} + 4 ^{2} = 25$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = 5$ 점 ${\mathrm{A}}$는 반비례 관계 $\displaystyle y = \frac{a}{x}$의 그래프 위의 점이므로 $\displaystyle {\mathrm{A}} \mathit{\left( \frac{a}{5} , 5 \right)}$ 점 ${\mathrm{B}}$에서 선분 ${\mathrm{AC}}$에 내린 수선의 발을 ${\mathrm{D}}$라 하면 $\displaystyle \triangle {\mathrm{ACB}} \frac{= \mathit{1}}{2} \times 5 \times {\overline{\mathrm{BD}}} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BD}}} = \frac{12}{5}$ 직각삼각형 ${\mathrm{DCB}}$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CB}}} ^{2} \mathit{=} {\overline{\mathrm{DC}}} ^{2} \mathit{+} {\overline{\mathrm{BD}}} ^{2}$ $\displaystyle 3 ^{2} = {\overline{\mathrm{DC}}} ^{2} \mathit{+} \left( \frac{12}{5} \right) ^{2}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{DC}}} ^{2} \mathit{=} \frac{81}{25}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{DC}}} = \frac{9}{5}$ 점 ${\mathrm{B}}$의 좌표가 $\displaystyle \left( \frac{a + 12}{5} , \frac{9}{5} \right)$이고, 점 ${\mathrm{B}}$는 반비례 관계 $\displaystyle y = \frac{a}{x}$의 그래프 위의 점이므로 $\displaystyle \frac{a + 12}{5} \times \frac{9}{5} = a$ $9 \left( a + 12 \right) = 25 a$, $16 a = 108$ $\displaystyle a = \frac{27}{4}$