중학중학 미분류수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

반비례 그래프 넓이

문제

그림과 같이 반비례 관계 y=ax\displaystyle y = \frac{a}{x}(a>0)( a > 0 )의 그래프가 두 직선 x=2x = 2, y=2y = 2와 만나는 점을 각각 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}라 하자. 점 C(2,2)\mathrm{C} \left( 2 , 2 \right)에 대하여 사각형 OACB\mathrm{OACB}의 넓이가 227\displaystyle \frac{22}{7}일 때, 상수 aa의 값은? (단, O\mathrm{O}는 원점이고, 점 A\mathrm{A}의 yy좌표는 22보다 작다.) [4점]

①67\displaystyle \frac{6}{7}②11③87\displaystyle \frac{8}{7}④97\displaystyle \frac{9}{7}⑤107\displaystyle \frac{10}{7}

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①

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해설

[출제의도] 반비례 관계를 이해하여 반비례 관계식을 구한다. 점 A{\mathrm{A}}는 직선 x=2{x = 2} 위의 점이므로 점 A{\mathrm{A}}의 x{x}좌표는 2{2}이고 이 점은 반비례 관계 y=ax\displaystyle {y = \frac{a}{x}}의 그래프 위의 점이므로 A(2,a2)\displaystyle {\mathrm{A} \mathit{\left( 2 , \frac{a}{2} \right)}} 점 B{\mathrm{B}}는 직선 y=2{y = 2} 위의 점이므로 점 B{\mathrm{B}}의 y{y}좌표는 2{2}이고 이 점은 반비례 관계 y=ax\displaystyle {y = \frac{a}{x}}의 그래프 위의 점이므로 B(a2,2)\displaystyle {\mathrm{B} \left( \frac{\mathit{a}}{2} , 2 \right)}

그림과 같이 직선 x=2{x = 2}가 x{x}축과 만나는 점을 D{\mathrm{D}}, 직선 y=2{y = 2}가 y{y}축과 만나는 점을 E{\mathrm{E}}라 하면 D(2,0){\mathrm{D} ( 2 , 0 )}, E(0,2){\mathrm{E} ( 0 , 2 )} 삼각형 ODA{\mathrm{ODA}}와 삼각형 OBE{\mathrm{OBE}}는 직각삼각형이므로 △ODA{\triangle \mathrm{ODA}}=12×OD‾×AD‾\displaystyle {= \frac{\mathrm{1}}{2} \times {\overline{OD}} \times {\overline{AD}}}=12×2×a2\displaystyle {= \frac{1}{2} \times 2 \times \frac{a}{2}}=a2\displaystyle {= \frac{a}{2}} △OBE{\triangle \mathrm{OBE}}=12×OE‾×BE‾\displaystyle {= \frac{\mathrm{1}}{2} \times {\overline{OE}} \times {\overline{BE}}}=12×2×a2\displaystyle {= \frac{1}{2} \times 2 \times \frac{a}{2}}=a2\displaystyle {= \frac{a}{2}} 사각형 ODCE{\mathrm{ODCE}}는 한 변의 길이가 2{2}인 정사각형이므로 □OACB{\square \mathrm{OACB}}=□ODCE−△ODA−△OBE{= \square \mathrm{ODCE} - \triangle \mathrm{ODA} - \triangle OBE} =2×2−a2−a2\displaystyle {= 2 \times 2 - \frac{a}{2} - \frac{a}{2}}=4−a{= 4 - a}=227\displaystyle {= \frac{22}{7}} 따라서 a=67\displaystyle {a = \frac{6}{7}}

태그

#반비례#넓이

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