반비례 그래프 넓이

점 ${\mathrm{A}}$의 좌표를 $\left( p , q \right) \left( p > 0 , q > 0 \right)$라 하자. 점 ${\mathrm{A}} \left( p , q \right)$가 반비례 관계 $\displaystyle y = \frac{a}{x}$의 그래프 위의 점이므로 $\displaystyle q = \frac{a}{p}$ 점 ${\mathrm{B}}$의 $x$좌표는 점 ${\mathrm{A}}$의 $x$좌표와 같으므로 $p$ 점 ${\mathrm{B}}$가 반비례 관계 $\displaystyle y = - \frac{2 a}{x}$의 그래프 위의 점이므로 점 ${\mathrm{B}}$의 $y$좌표는 $\displaystyle - \frac{2 a}{p} = - 2 q$ 그러므로 점 ${\mathrm{B}}$의 좌표는 $\left( p , - 2 q \right)$ 두 점 ${\mathrm{A}}$, ${\mathrm{C}}$는 정비례 관계 $y = mx$의 그래프 위의 점이고, 점 ${\mathrm{C}}$의 $x$좌표는 점 ${\mathrm{A}}$의 $x$좌표의 $\displaystyle \frac{1}{2}$배이므로 점 ${\mathrm{C}}$의 $y$좌표는 점 ${\mathrm{A}}$의 $y$좌표의 $\displaystyle \frac{1}{2}$배이다. 그러므로 점 ${\mathrm{C}}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{p}{2} , \frac{q}{2} \right)$ 두 점 ${\mathrm{B}}$, ${\mathrm{D}}$는 반비례 관계 $\displaystyle y = - \frac{2 a}{x}$의 그래프 위의 점이고, 점 ${\mathrm{D}}$의 $x$좌표는 점 ${\mathrm{B}}$의 $x$좌표의 $\displaystyle \frac{1}{2}$배이므로 점 ${\mathrm{D}}$의 $y$좌표는 점 ${\mathrm{B}}$의 $y$좌표의 $2$배이다. 그러므로 점 ${\mathrm{D}}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{p}{2} , - 4 q \right)$ 점 ${\mathrm{B}}$에서 직선 ${\mathrm{CD}}$에 내린 수선의 발을 ${\mathrm{H}}$라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BH}}} = p - \frac{p}{2} = \frac{p}{2}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = q - \left( - 2 q \right) = 3 q$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}} = \frac{q}{2} - \left( - 4 q \right) = \frac{9}{2} q$ $\square {\mathrm{ACDB}}$$= \triangle {\mathrm{CDB}} + \triangle {\mathrm{ACB}}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{CD}}} \times {\overline{\mathrm{BH}}} + \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AB}}} \times {\overline{\mathrm{BH}}}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \frac{9}{2} q \times \frac{p}{2} + \frac{1}{2} \times 3 q \times \frac{p}{2} = \frac{15}{8} pq$ $\displaystyle q = \frac{a}{p}$에서 $pq = a$이므로 $\displaystyle \frac{15}{8} pq = \frac{15}{8} a = 45$ 따라서 $a = 24$