미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

발산하는 함수 극한 계산

문제

x≠2x \ne 2인 모든 실수 xx에서 정의된 두 함수 f(x)f ( x ), g(x)g ( x )가 다음 두 조건을 만족한다. (가) lim⁡x→2{2f(x)+g(x)}=1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} {} \left\{ 2 f ( x ) + g ( x ) \right\} = 1 (나) lim⁡x→2g(x)=∞\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} {} g ( x ) = \infty

이 때, lim⁡x→24f(x)−40g(x)2f(x)−g(x)\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 2} {} \frac{4 f ( x ) - 40 g ( x )}{2 f ( x ) - g ( x )}의 값을 구하시오. [3점]

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해설

(나) 조건에서 lim⁡x→2g(x)=∞→lim⁡x→21g(x)=0\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 2{g ( x ) = \infty \rightarrow \lim\limits _{x\rightarrow 2{\frac{1}{g ( x )} = 0}}}}이다. 그러므로 (가) 조건의 식 2f(x)+g(x)=12 f ( x ) + g ( x ) = 1의 양변에 1g(x)\displaystyle \frac{1}{g ( x )}를 곱해주면 2⋅f(x)g(x)+1=1g(x)\displaystyle 2 \cdot {\frac{f ( x )}{g ( x )}} + 1 = \frac{1}{g ( x )} 양변에 x→2x \rightarrow 2인 극한을 취해주면 lim⁡x→2(2f(x)g(x)+1)=lim⁡x→21g(x)=0\displaystyle \lim\limits _{x\rightarrow 2{\left( {\frac{2 f ( x )}{g ( x )}} + 1 \right) = \lim\limits _{x\rightarrow 2{\frac{1}{g ( x )} = 0}}}} ∴lim⁡x→2f(x)g(x)=−12\displaystyle \therefore \lim\limits _{x\rightarrow 2{\frac{f ( x )}{g ( x )} = - \frac{1}{2}}} 여기서 구하라는 식의 분모, 분자를 g(x)g ( x )로 나눠주면 준식 =lim⁡x→24f(x)g(x)−402f(x)g(x)−1=−2−40−1−1=21\displaystyle = \lim\limits _{x\rightarrow 2} {\frac{4 {\frac{f ( x )}{g ( x )}} - 40}{2 \frac{f ( x )}{g ( x )} - 1} = \frac{- 2 - 40}{- 1 - 1} = 21}

태그

#함수의 극한#발산

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