확률과 통계조건부확률수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

배낭여행 지역 변경 확률

문제

어느 사관학교에서는 매년 휴가기간에 44학년 생도 전부를 대상으로 해외 배낭여행을 실시하고 있다. 여행 66개월 전에 희망지역을 조사한 결과, 유럽, 미국, 아시아 지역을 희망한 생도의 비율이 각각 3030%, 5050%, 2020%이었다. 비자발급을 위해 여행 33개월 전에 희망지역을 최종적으로 조사한 결과 유럽 지역을 희망했던 생도의 1515%, 미국 지역을 희망했던 생도의 55%, 아시아 지역을 희망했던 생도의 3535%가 여행지를 변경하였다. 여행지역을 변경한 생도 11명을 임의로 택할 때, 그 생도가 최초에 미국 지역을 희망했을 확률은 qp\displaystyle \frac{q}{p}이다. p+qp + q의 값을 구하시오. (단, p,qp , q는 서로소인 자연수이다.) [4점]

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해설

44학년 생도 수를 aa라 하면 여행 33개월 전에 희망지역을 변경한 생도 수는 표와 같다.

희망지역유럽미국아시아
최초 희망자 수310a\displaystyle \frac{3}{10} a12a\displaystyle \frac{1}{2} a15a\displaystyle \frac{1}{5} a
변경한 희망자 수0.15×310a\displaystyle 0.15 \times \frac{3}{10} a0.05×12a\displaystyle 0.05 \times \frac{1}{2} a0.35×15a\displaystyle 0.35 \times \frac{1}{5} a

따라서, 여행지역을 변경한 생도 11명을 임의로 택할 때, 그 생도가 최초에 미국 지역을 택했을 확률은 qp=5100×12a(15100×310a)+(5100×12a)+(35100×15a)\displaystyle {\frac{q}{p} = \frac{\frac{5}{100} \times \frac{1}{2} a}{\left( \frac{15}{100} \times \frac{3}{10} a \right. ) + \left( \frac{5}{100} \times \frac{1}{2} a \right) + \left( \frac{35}{100} \times \frac{1}{5} a \right)}} =2545+25+70\displaystyle = \frac{25}{45 + 25 + 70}=528\displaystyle = \frac{5}{28} 따라서, p+q=5+28=33p + q = 5 + 28 = 33

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#조건부확률#베이즈

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