확률과 통계확률의 뜻과 활용수능 기출기본 문제 (3점 중반)

배반사건의 확률

문제

사건 전체의 집합 $S$ 의 두 사건 $A$ 와 $B$ 는 서로 배반사건이고, $A \cup B = S$ , $\mathrm{P} ( A ) = 2 P ( B )$ 일 때, $\mathrm{P} ( A )$ 의 값은? [3점] ① $\displaystyle \frac{2}{3}$ ② $\displaystyle \frac{1}{2}$ ③ $\displaystyle \frac{2}{5}$ ④ $\displaystyle \frac{1}{3}$ ⑤ $\displaystyle \frac{1}{4}$

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①

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해설

두 사건 $A , B$ 는 서로 배반사건이므로 $\mathrm{P} ( \mathit{A} \cap B ) = 0$ 또, $A \cup B = S$ 이므로 $\mathrm{P} ( \mathit{A} \cup B ) = \mathrm{P} ( \mathit{S} ) = 1$ 따라서 확률의 덧셈정리에 의해 $\mathrm{P} ( \mathit{A} \cup B ) = \mathrm{\mathrm{P}} ( \mathit{A} ) + \mathrm{P} ( \mathit{B} ) - \mathrm{P} ( \mathit{A} \cap B )$ $= \mathrm{2} P ( \mathit{B} ) + \mathrm{P} ( \mathit{B} ) - 0$ $= 3 \mathrm{P} ( \mathit{B} ) = 1$ $\displaystyle \therefore \mathrm{P} ( \mathit{B} ) = \frac{1}{3}$ $\displaystyle \therefore \mathrm{P} ( \mathit{A} ) = 2 \mathrm{P} ( \mathit{B} ) = \frac{2}{3}$

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