아래로 볼록한 함수 판별

모든 실수 $x , y$에 대하여 $\displaystyle f \left( \frac{x + y}{2} \right) \leq \frac{f ( x ) + f ( y )}{2}$을 만족하기 위해서 함수의 개형은 아래로 볼록한 형태이어야 한다. ㄱ. 함수 $\displaystyle f ( x ) = \sqrt{| x |}$는 $\displaystyle y = \sqrt{x}$(단, $x \geq 0$)와 $\displaystyle y = \sqrt{- x}$(단, $x < 0$)이므로 $x < 0 < y$인 경우에 만족하지 않는다. (거짓) ㄴ. 함수 $f ( x ) = 2 ^{| x |}$는 $\displaystyle y = \begin{cases} 2 ^{x} ( x \geq 0 ) \\ 2 ^{-x} ( x < 0 ) \end{cases}$이므로 모든 실수 $x , y$에 대하여 조건을 만족한다. (참) ㄷ. 함수 $f ( x ) = \log _{2} ( | x | + 1 )$는 $\displaystyle f ( x ) = \begin{cases} \log _{2} ( x + 1 ) ( x \geq 0 ) \\ \log _{2} ( - x + 1 ) ( x < 0 ) \end{cases}$ 이므로 $x < 0 < y$인 경우에 조건을 만족하지 않는다. (거짓)