8의 배수 조건 순서쌍

[출제의도] 중복조합을 이용하여 순서쌍의 개수를 구할 수 있는가? 조건 (나)에서 $2 ^{a} \times 4 ^{b} = 2 ^{a + 2 b}$이고 이 수가 $8$의 배수이어야 하므로 $a + 2 b \geq 3$ $( \mathrm{i} )$ $b = 0$일 때, $a \geq 3$이어야 하므로 조건 (가)에서 $a = a' + 3$ ($a'$은 음이 아닌 정수)으로 놓으면 $a + b + c = ( a' + 3 ) + c = 7$ $a' + c = 4$ 그러므로 순서쌍 $( a , b , c )$의 개수는 ${} _{2} \mathrm{H} _{4} = _{2 + 4 - 1} C _{4} = _{5} C _{4} = _{5} C _{1} = 5$ $( \mathrm{ii} )$ $b = 1$일 때, $a \geq 1$이어야 하므로 조건 (가)에서 $a = a' + 1$ ($a'$은 음이 아닌 정수)로 놓으면 $a + b + c$$= ( a' + 1 ) + 1 + c = 7$ $a' + c = 5$ 그러므로 순서쌍 $( a , b , c )$의 개수는 ${} _{2} \mathrm{H} _{5} = _{2 + 5 - 1} C _{5} = _{6} C _{5} = _{6} C _{1} = 6$ $( \mathrm{iii} )$ $b \geq 2$일 때, $a \geq 0$이면 되므로 조건 (가)에서 $b = b' + 2$ ($b'$은 음이 아닌 정수)로 놓으면 $a + b + c$$= a + ( b' + 2 ) + c = 7$ $a + b' + c = 5$ 그러므로 순서쌍 $( a , b , c )$의 개수는 $\displaystyle {} _{3} \mathrm{H} _{5} = _{3 + 5 - 1} C _{5} = _{7} C _{5} = _{7} C _{2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ 따라서, $( \mathrm{i} ) , ( \mathrm{ii} ) , ( \mathrm{iii} )$에서 구하는 순서쌍의 개수는 $5 + 6 + 21 = 32$