공통수학2도형의 이동수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

45° 반직선 최단 거리

문제

∠XOY=45∘\mathrm{\angle} XOY = 45 ^\circ인 반직선 OX\mathrm{OX} 위에 OA‾=50\displaystyle \mathrm{\overline{OA}} = 50, OB‾=120\displaystyle \mathrm{\overline{OB}} = 120인 두 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}가 있다. 반직선 OY\mathrm{OY} 위의 임의의 점 P\mathrm{P}에 대하여 AP‾+PB‾\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} + \overline{PB}의 최솟값을 구하시오. [4점]

45∘45 ^\circ

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130

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해설

[출제의도] 대칭이동을 이용한 최소 거리 구하기 점 A\mathrm{A}를 반직선 OY\mathrm{OY}에 대하여 대칭이동한 점을 A′\mathrm{A}', 반직선 OY\mathrm{OY}와 선분 AA′\mathrm{A} A'의 교점을 M\mathrm{M}이라 하자. △AMP≡△A′MP\triangle \mathrm{AMP} \equiv \triangle A' MP(∵ SAS\mathrm{SAS}합동), △AOM≡△A′OM\triangle \mathrm{AOM} \equiv \triangle A' OM(∵ SAS\mathrm{SAS}합동)이므로 ∠AOA′=90∘\mathrm{\angle} AOA' = 90 ^\circ, AP‾=A′P‾\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} = \overline{A' P}, OA‾=OA‾′\displaystyle \mathrm{\overline{OA}} = \overline{OA}'

A′\mathrm{A}', P\mathrm{P}, B\mathrm{B}가 일직선 상에 있을 때, AP‾+PB‾\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} + \overline{PB}의 길이가 최소가 된다. AP‾+PB‾=A′P‾+PB‾≥A′B‾=130\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} + \overline{PB} = \overline{A' P} + \overline{PB} \geq \overline{A' B} = 130 따라서, 구하는 최소값은 130130

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#대칭이동#최단 거리

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