미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

3의 배수 제외 합 비 극한

문제

자연수 nn에 대하여 11부터 6n6 n까지의 자연수의 총합을 AnA _{n}, 11부터 6n6 n까지의 자연수 중에서 33의 배수를 제외한 자연수의 총합을 BnB _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞AnBn=qp\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{A _{n}}{B _{n}} = \frac{q}{p}}이다. 이때, 서로소인 자연수 p,qp , q의 합 p+qp + q의 값을 구하시오. [3점]

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해설

An=6n(1+6n)2=3n(6n+1)\displaystyle A _{n} = \frac{6 n ( 1 + 6 n )}{2} = 3 n ( 6 n + 1 ) Bn=An−∑k=12n3k\displaystyle B _{n} = A _{n} - \sum\limits _{k = 1} ^{2 n} 3 k =3n(6n+1)−3n(2n+1)= 3 n ( 6 n + 1 ) - 3 n \left( 2 n + 1 \right)=12n2= 12 n ^{2} 이므로 lim⁡n→∞AnBn=lim⁡n→∞3n(6n+1)12n2=32\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{A _{n}}{B _{n}}} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{3 n ( 6 n + 1 )}{12 n ^{2}}} = \frac{3}{2} ∴p+q=5p + q = 5

태그

#수열의 극한#자연수의 합

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