공통수학2함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

3 으로 나눈 나머지

문제

자연수 nn에 대하여 nn을 33으로 나눈 나머지를 f(n)f ( n )으로 정의 할 때, <보기>에서 항상 옳은 것을 모두 고른 것은? [4점]

<보 기>
ㄱ. f(123)=0f ( 123 ) = 0 ㄴ. 자연수 kk 에 대하여 f(k3−k+3)=0f ( k ^{3} - k + 3 ) = 0 ㄷ. 자연수 kk 에 대하여 f(k3)+f(k)=1f ( k ^{3} ) + f ( k ) = 1

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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③

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해설

[출제의도] 약수와 배수 이해하기 ㄱ. 123123은 33의 배수이므로 f(123)=0f ( 123 ) = 0 ∴ 참 ㄴ. k3−k=(k−1)k(k+1)k ^{3} - k = ( k - 1 ) k ( k + 1 ) 연속하는 세 자연수의 곱은 33의 배수이므로 k3−k+3k ^{3} - k + 3도 3의 배수이다. ∴ 참 ㄷ. (반례) k=1k = 1일 때, f(k3)+f(k)=2f ( k ^{3} ) + f ( k ) = 2 ∴ 거짓

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