0과 1을 포함한 다섯 자리 수

[출제의도] 중복순열을 활용하여 문제해결하기 구하는 모든 자연수의 개수는 숫자 $0 , 1 , 2$중에서 중복을 허락하여 $5$개를 선택한 후 일렬로 나열하여 만든 모든 다섯 자리의 자연수의 개수에서 숫자 $0$ 또는 숫자 $1$을 선택하지 않고 만든 자연수의 개수를 뺀 것과 같다. (ⅰ) 숫자 $0 , 1 , 2$중에서 중복을 허락하여 $5$개를 선택한 후 일렬로 나열하여 다섯 자리의 자연수를 만드는 경우 만의 자리의 수가 될 수 있는 수는 $1$또는 $2$이므로 만의 자리의 수를 정하는 경우의 수는 $2$⋯ ㉠ 남은 네 자리의 수를 정하는 경우의 수는 서로 다른 $3$개에서 $4$개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 $\displaystyle {}_{3} \mathrm{\prod} _{4} = 3 ^{4} = 81$⋯ ㉡ ㉠, ㉡에 의하여 $2 \times 81 = 162$ (ⅱ) 숫자 $0$을 선택하지 않고 다섯 자리의 자연수를 만드는 경우 $1 , 2$의 $2$개에서 $5$개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 $\displaystyle {}_{2} \mathrm{\prod} _{5} = 2 ^{5} = 32$ (ⅲ) 숫자 $1$을 선택하지 않고 다섯 자리의 자연수를 만드는 경우 만의 자리의 수가 될 수 있는 수는 $2$이므로 만의 자리의 수를 정하는 경우의 수는 $1$⋯ ㉢ 남은 네 자리의 수를 정하는 경우의 수는 $0 , 2$의 $2$개에서 $4$개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 $\displaystyle {}_{2} \mathrm{\prod} _{4} = 2 ^{4} = 16$ ⋯ ㉣ ㉢, ㉣에 의하여 $1 \times 16 = 16$ (ⅳ) 숫자 $0 , 1$을 모두 선택하지 않고 다섯 자리의 자연수를 만드는 경우 자연수 $22222$의 $1$개다. 따라서 (ⅰ)~(ⅳ)에 의하여 구하는 자연수의 개수는 $162 - ( 32 + 16 - 1 ) = 115$