중학중학 미분류수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

유한소수가 되는 조건

문제

$x$ 가 자연수일 때, 분수 $\displaystyle \frac{x}{1100}$ 는 다음 세 조건을 만족한다.

(가) $x$ 는 $7$ 의 배수이다. (나) $x$ 는 세 자리 자연수이다. (다) $\displaystyle \frac{x}{1100}$ 를 소수로 나타내면 유한소수이다.

$x$ 의 최솟값을 구하시오. [4점]

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154

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해설

[출제의도] 유리수의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. $\displaystyle \frac{x}{1100}$ $\displaystyle = \frac{x}{2 ^{2} \times 5 ^{2} \times 11}$ 가 유한소수가 되려면 $x$ 는 $11$ 의 배수이어야 한다. 그런데 $x$ 는 $7$ 의 배수이므로 $7$ 과 $11$ 의 최소공배수인 $77$ 의 배수이다. 또, $x$ 가 세 자리 자연수이므로 $x$ 의 최솟값은 $77 \times 2 = 154$ 이다.

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