원의 호와 할선 사이 각

[출제의도] 원주각의 크기와 호의 길이 사이의 관계를 이용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. 반지름의 길이가 $9$$\mathrm{cm}$에서 원주는 $18 \pi$$\mathrm{cm}$이다. 점 $\mathrm{D}$에서 선분 $\mathrm{AB}$에 평행한 선을 긋고 원과의 교점을 $\mathrm{E}$라 하면, 평행선의 성질에 의해서 $\mathrm{\angle} EDC = 30 ^\circ$ 중심각의 크기는 원주각의 크기의 두 배이므로 $\displaystyle \mathrm{\frown} {EC} = 18 \pi \times \frac{60 ^\circ}{360 ^\circ} = 3 \pi$ $\mathrm{\frown} {AE} + \frown {BD} = 18 \pi - ( 4 \pi + 6 \pi + 3 \pi ) = 5 \pi$ 평행선의 성질에 의해서 $\mathrm{\angle} ABE = \angle BED$ $\displaystyle \mathrm{\frown} {AE} = \frown {BD} = \frac{5}{2} \pi$ ∴ $\mathrm{\frown} {AC} = \frown {AE} + \frown {EC}$$\displaystyle = \frac{5}{2} \pi + 3 \pi$$\displaystyle = \frac{11}{2} \pi$

[다른 풀이] $\angle \mathrm{BAD} = \mathit{a} ^\circ$라 하면 $\angle \mathrm{ADC} = \mathit{a} ^\circ + 30 ^\circ$ 중심각의 크기는 원주각의 두 배이므로 (부채꼴 $\mathrm{BOD}$의 중심각의 크기)=$2 a ^\circ$ (부채꼴 $\mathrm{AOC}$의 중심각의 크기)=$2 a ^\circ + 60 ^\circ$ 반지름의 길이가 $9$$\mathrm{cm}$에서 원주는 $18 \pi$$\mathrm{cm}$이다. $\displaystyle \mathrm{\frown} {AC} + \frown {BD} = 18 \pi \times \frac{4 \mathit{a} ^\circ + 60 ^\circ}{360 ^\circ}$ $\mathrm{\frown} {AC} + \frown {BD} = 18 \pi - ( 4 \pi + 6 \pi ) = 8 \pi$이므로 $\displaystyle 18 \pi \times \frac{4 \mathit{a} ^\circ + 60 ^\circ}{360 ^\circ} = 8 \pi$ 계산하면 $a ^\circ = 25 ^\circ$ (부채꼴 $\mathrm{AOC}$의 중심각의 크기)$=$$110 ^\circ$ ∴ $\displaystyle \mathrm{\frown} {AC} = 18 \pi \times \frac{110 ^\circ}{360 ^\circ} = \frac{11}{2} \pi$($\mathrm{cm}$)