원주각과 사인

[출제의도] 피타고라스 정리와 삼각형의 넓이를 활용하여 삼각비를 구한다.

점 $\mathrm{D}$에서 선분 $\mathrm{AC}$의 연장선에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하자. $\displaystyle \mathrm{\overline{ND}} = \overline{CH} = 9$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{AH}}$$\displaystyle \mathrm{=} \overline{AC} + \overline{CH}$$= 16 + 9$$= 25$ $\displaystyle \mathrm{\overline{DH}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{NC}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{BC}}$$= 15$ 직각삼각형 $\mathrm{ADH}$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}}$$\displaystyle = \sqrt{{\overline{\mathrm{AH}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{DH}}} ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{{25 ^{2} + 15 ^{2}}}$$\displaystyle = 5 \sqrt{34}$ 직각삼각형 $\mathrm{CDH}$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CD}}}$$\displaystyle = \sqrt{{\overline{\mathrm{CH}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{DH}}} ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{{9 ^{2} + 15 ^{2}}}$$\displaystyle = 3 \sqrt{34}$ $\mathrm{\triangle} ADC$$\displaystyle \frac{= \mathrm{1}}{2} \times {\overline{AD}} \times {\overline{CD}} \times \sin \mathit{x}$ $\displaystyle \frac{= \mathrm{\mathit{1}}}{2} \times 5 \sqrt{34} \times 3 \sqrt{34} \times \sin x$ $= 255 \times \sin x$ 또, 삼각형 $\mathrm{ADC}$는 밑변이 선분 $\mathrm{AC}$이고, 높이가 선분 $\mathrm{NC}$이므로 $\mathrm{\triangle} ADC$$\displaystyle \frac{= \mathrm{1}}{2} \times {\overline{AC}} \times {\overline{NC}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 16 \times 15$$= 120$ $255 \times \sin x$$= 120$에서 $\sin x$$\displaystyle = \frac{120}{255}$$\displaystyle = \frac{8}{17}$ 따라서 $p = 17$, $q = 8$이므로 $p + q = 25$ [다른 풀이] 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$에서 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} ^{2}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{AC}}} ^{2} + {\overline{\mathrm{BC}}} ^{2}$$= 16 ^{2} + 30 ^{2}$$= 34 ^{2}$ 이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 34$ 직각삼각형 $\mathrm{ABC}$는 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하고 중심이 $\mathrm{M}$인 원에 내접한다.

삼각형의 중점연결정리에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{MN \mathit{}}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{AC \mathit{}}}$$= 8$ $\displaystyle \mathrm{\overline{MD \mathit{}}}$$\displaystyle \mathrm{=} {\overline{\mathrm{MN} \mathit{}}} + {\overline{ND \mathit{}}}$$= 8 + 9$$= 17$ 이므로 점 $\mathrm{D}$는 원 위의 점이다. 원주각의 성질에 의하여 $x$$= \mathrm{\angle} ADC$$= \mathrm{\angle} ABC$ 그러므로 $\sin x$$= \sin \left( \mathrm{\angle} ABC \right)$$\displaystyle \mathrm{=} \frac{{\overline{AC}}}{\mathrm{\overline{AB}}}$$\displaystyle = \frac{16}{34}$$\displaystyle = \frac{8}{17}$ 따라서 $p = 17$, $q = 8$이므로 $p + q = 25$