원주각과 호의 길이

원의 중심을 ${\mathrm{O}}$라 하자. 중심각의 크기는 원주각의 크기의 $2$배이므로 ${\frown {\mathrm{DAB}}}$에 대한 중심각의 크기는 $2 \times \angle {\mathrm{DCB}} = 220 ^\circ$ $\angle {\mathrm{BOD}} = 360 ^\circ - 220 ^\circ = 140 ^\circ$ 호의 길이는 중심각의 크기에 비례하므로 $\angle {\mathrm{BOC}} : \angle {\mathrm{COD}} = {\frown {\mathrm{BC}}} : {\frown {\mathrm{CD}}} = 4 : 3$ $\displaystyle \angle {\mathrm{COD}} = 140 ^\circ \times \frac{3}{7} = 60 ^\circ$ $\angle {\mathrm{CAD}}$는 호 ${\mathrm{CD}}$에 대한 원주각이므로 $\displaystyle \angle {\mathrm{CAD}} = \frac{1}{2} \times \angle {\mathrm{COD}} = \frac{1}{2} \times 60 ^\circ = 30 ^\circ$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} \parallel {\overline{\mathrm{BC}}}$이므로 $\angle {\mathrm{ACB}} = \angle {\mathrm{CAD}}$ (엇각) $\angle {\mathrm{DCA}}$$= \angle {\mathrm{DCB}} - \angle {\mathrm{ACB}}$ $= \angle {\mathrm{DCB}} - \angle {\mathrm{CAD}}$ $= 110 ^\circ - 30 ^\circ = 80 ^\circ$ $\angle {\mathrm{DOA}} = 2 \times \angle {\mathrm{DCA}} = 2 \times 80 ^\circ = 160 ^\circ$ 따라서 $\displaystyle {\frown {\mathrm{DA}}} = 2 \pi \times 5 \times \frac{160 ^\circ}{360 ^\circ} = \frac{40}{9} \pi$