원을 12등분한 점

[출제의도] 원의 성질을 이용하여 <보기>의 참, 거짓을 추론하여 판별한다.

ㄱ. 그림과 같이 원의 중심을 $\mathrm{O}$라 하면 부채꼴 $\mathrm{OEF}$의 중심각의 크기는 $\angle \mathrm{EOF}$$\displaystyle = 360 ^\circ \times \frac{3}{12}$$= 90 ^\circ$ 한 호에 대한 원주각의 크기는 중심각의 크기의 $\displaystyle \frac{1}{2}$배이므로 $\angle \mathrm{ECF}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \angle \mathrm{EOF}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 90 ^\circ$$= 45 ^\circ$ (참) ㄴ. $\mathrm{\angle} AOE = 60 ^\circ$이므로 두 직선 $\mathrm{CE}$와 $\mathrm{AB}$의 교점을 $\mathrm{S}$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{ES}}$$= 6 \times \sin 60 ^\circ$$\displaystyle = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$$\displaystyle = 3 \sqrt{3}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{CE}}$$\displaystyle = 2 \times {\overline{\mathrm{ES}}}$$\displaystyle = 6 \sqrt{3}$ (참) ㄷ. 직선 $\mathrm{EO}$가 원과 만나는 점을 $\mathrm{G}$라 하면 $\mathrm{\angle} CED$, $\mathrm{\angle} {D} EG$는 각각 호 $\mathrm{CD}$, 호 $\mathrm{DG}$의 원주각이므로 $\mathrm{\angle} CED$$\mathrm{=} \angle D EG$$= 15 ^\circ$ 삼각형 $\mathrm{OES}$에서 각의 이등분선의 성질에 의하여 $\displaystyle \mathrm{\overline{OP}} : {\overline{PS}} = {\overline{OE}} : {\overline{ES}}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{OE}}$$= 6$, $\displaystyle \mathrm{\overline{ES}}$$\displaystyle = 3 \sqrt{3}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{OP}} : {\overline{PS}} = 2 : \sqrt{3}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PS}}$$\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{2} \times {\overline{\mathrm{OP}}}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{OS}}$$= 6 \times \cos 60 ^\circ$$\displaystyle = 6 \times \frac{1}{2}$$= 3$ $\displaystyle \mathrm{\overline{OP}} + {\overline{PS}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{OS}}$$= 3$이므로 $\displaystyle \left( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) \times \mathrm{\overline{OP}}$$\displaystyle = \left( \frac{2 + \sqrt{3}}{2} \right) \times \mathrm{\overline{OP}}$$= 3$ $\displaystyle \mathrm{\overline{OP}}$$\displaystyle = 3 \times \frac{2}{2 + \sqrt{3}}$$\displaystyle = 12 - 6 \sqrt{3}$ ㄱ에서 $\mathrm{\angle} ECF$$= 45 ^\circ$ $\displaystyle \mathrm{\overline{SQ}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{SC}}$$\displaystyle = 3 \sqrt{3}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{QO}}$$\displaystyle \mathrm{=} {\overline{QS}} - {\overline{OS}}$$\displaystyle = 3 \sqrt{3} - 3$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}}$$\displaystyle \mathrm{=} {\overline{OP}} + {\overline{QO}}$$\displaystyle = \left( 12 - 6 \sqrt{3} \right) + \left( 3 \sqrt{3} - 3 \right)$$\displaystyle = 9 - 3 \sqrt{3}$ (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. [다른 풀이] ㄷ. $\displaystyle \mathrm{\overline{DE}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{CF}}$의 교점을 $\mathrm{R}$라 하고, $\mathrm{\frown {BF}} = {\frown {BF'}}$이 되도록 점 $\mathrm{F}'$을 잡는다. 그러면 $\displaystyle \mathrm{\overline{EF}}'$과 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}}$의 교점은 점 $\mathrm{Q}$이다.

$\mathrm{\angle} REF = 60 ^\circ$, $\mathrm{\angle} RFE = 60 ^\circ$이므로 $\mathrm{\triangle} REF$는 정삼각형이 되어 $\mathrm{\angle} ERQ = 60 ^\circ$이다. $\mathrm{\angle} DEF' = 30 ^\circ$이므로 $\mathrm{\angle} RQE = 90 ^\circ$이다. 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{QR}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{QF}}$ 원의 중심을 $\mathrm{O}$라 하면 $\mathrm{\triangle} OEF$는 $\displaystyle \mathrm{\overline{OE}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{OF}}$$= 6$인 직각이등변삼각형이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{EF}}$$\displaystyle = 6 \sqrt{2}$이다. $\mathrm{\triangle} REF$가 정삼각형이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{QR}}$$\displaystyle \mathrm{=} \frac{1}{2} \times {\overline{RF}}$$\displaystyle = 3 \sqrt{2}$이다. $\mathrm{\angle} CQA$$= \mathrm{\angle} EQA$이므로 $\mathrm{\angle} RQP$$= 45 ^\circ$이고 $\mathrm{\angle} PRQ = 60 ^\circ$ 점 $\mathrm{P}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{QR}}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하고 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}}$$= x$라 하면 $\displaystyle \mathrm{\overline{QH}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{PQ}} \times \cos 45 ^\circ$$\displaystyle = \frac{x}{\sqrt{2}}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PH}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{PQ}} \times \sin 45 ^\circ$$\displaystyle = \frac{x}{\sqrt{2}}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{PH}}$$\displaystyle = \mathrm{\overline{RH}} \times \tan 60 ^\circ$$\displaystyle = \sqrt{3} \mathrm{\times} {\overline{RH}}$이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{RH}}$$\displaystyle = \frac{x}{\sqrt{6}}$이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{QH}} + \mathrm{\overline{RH}}$$\displaystyle = \frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{x}{\sqrt{6}}$$\displaystyle = 3 \sqrt{2}$이므로 이 식의 양변에 $\displaystyle \sqrt{6}$을 곱하여 정리하면 $\displaystyle \left( \sqrt{3} + 1 \right) x$$\displaystyle = 6 \sqrt{3}$ $x$$\displaystyle = \frac{6 \sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1}$$\displaystyle = \frac{6 \sqrt{3} \left( \sqrt{3} - 1 \right)}{\left( \sqrt{3} + 1 \right) \left( \sqrt{3} - 1 \right)}$$\displaystyle = \frac{6 \sqrt{3} \left( \sqrt{3} - 1 \right)}{2}$$\displaystyle = 3 \sqrt{3} \left( \sqrt{3} - 1 \right)$ $\displaystyle = 9 - 3 \sqrt{3}$