중학중학 미분류수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

원 테두리 길이 규칙

문제

[그림11]은 반지름의 길이가 11 인 원이다. [그림22]는 [그림11]의 아랫부분에 이웃하는 원끼리 서로의 중심을 지나도록 원 두 개를 그렸다. [그림33]은 [그림22]의 아랫부분에 이웃하는 원끼리 서로의 중심을 지나도록 원 세 개를 그렸다. 이와 같은 과정을 계속하여 가장 아랫부분이 원 열 개가 되도록 그렸을 때, 그 도형에서 실선으로 그려지는 테두리의 길이는 xπx \pi이다. xx의 값을 구하시오. (단, 그림 내부의 점선의 교점들은 각각의 원의 중심이고, 모든 원의 반지름의 길이는 11이다.) [4점]

⋯\mathbf{\cdots}
[그림11] [그림22] [그림33]⋯\mathbf{\cdots}
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11

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해설

[출제의도] 원의 성질을 이용하여 수학내적 문제 해결하기

180∘180 ^\circ

위의 그림에서 내부의 모든 교점들을 연결한 작은 삼각형들은 모두 한 변의 길이가 반지름의 길이 1과 같으므로 정삼각형이다. 따라서 AB‾\displaystyle \overline{\mathrm{AB}}는 원의 지름이고, ⌢AB=π\frown {\mathrm{AB}} = \pi

위의 그림에서 작은 삼각형은 모두 한 변의 길이가 1인 정삼각형이다. ⌢AC=2π×60∘360∘=π3\displaystyle \frown {\mathrm{AC}} = 2 \pi \times \frac{60 ^\circ}{360 ^\circ} = \frac{\pi}{3}

⋮\vdots ⋯\cdots

⌢AB=π\frown {\mathrm{AB}} = \pi, ⌢AC=⌢BD=⌢EF=⌢GH=π3\displaystyle \frown {\mathrm{AC}} = \frown {\mathrm{BD}} = \frown {\mathrm{EF}} = \frown {\mathrm{GH}} = \frac{\pi}{3}이므로, 따라서 가장 아랫부분에 10개의 원이 있는 경우 실선의 길이는 π3×8×3+π×3=11π\displaystyle \frac{\pi}{3} \times 8 \times 3 + \pi \times 3 = 11 \pi

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#호의 길이#규칙 찾기#중학

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