중학중학 미분류수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

수직선 위 제곱근 점 개수

문제

수직선 위에 자연수의 양의 제곱근 $1$ , $\displaystyle \sqrt{2}$ , $\displaystyle \sqrt{3}$ , $2$ , $\displaystyle \sqrt{5}$ , $\displaystyle \sqrt{6}$ , $\displaystyle \sqrt{7}$ , $\displaystyle \sqrt{8}$ , $3$ , … 에 대응하는 점을 나타내면 다음과 같다.

이렇게 나타낸 점은 $1$ 과 $2$ 사이에는 $2$ 개 있고, $2$ 와 $3$ 사이에는 $4$ 개 있다. 이러한 점 중에서 $2007$ 과 $2008$ 사이에 있는 점의 개수는? [4점] ① $4010$ ② $4012$ ③ $4014$ ④ $4016$ ⑤ $4018$

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③

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해설

[출제의도] 제곱근의 뜻과 인수분해를 이용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. $\displaystyle 2007 = \sqrt{2007 ^{2}}$ , $\displaystyle 2008 = \sqrt{2008 ^{2}}$ 이므로 $2007$ 과 $2008$ 사이에 있는 점에 대응하는 수는 $\displaystyle \sqrt{2007 ^{2} + 1}$ , $\displaystyle \sqrt{2007 ^{2} + 2}$ , $\displaystyle \sqrt{2007 ^{2} + 3}$ , $\cdots$ , $\displaystyle \sqrt{2008 ^{2} - 1}$ 이다. 따라서 구하는 점의 개수는 $( 2008 ^{2} - 1 ) - ( 2007 ^{2} + 1 ) + 1$ $= \left( 2008 ^{2} - 2007 ^{2} ) - 1 \right.$ $= ( 2008 - 2007 ) ( 2008 + 2007 ) - 1$ $= 4015 - 1$ $= 4014$

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