중학중학 미분류수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

서로소 확률

문제

상자 A{\mathrm{A}}에는 숫자 11, 22, 33, 44, 55, 66이 하나씩 적혀 있는 66개의 공이 들어 있고, 상자 B{\mathrm{B}}에는 숫자 77, 88, 99가 하나씩 적혀 있는 33개의 공이 들어 있다. 두 상자 A{\mathrm{A}}, B{\mathrm{B}}에서 각각 공을 임의로 한 개씩 꺼낼 때, 꺼낸 공에 적혀 있는 두 자연수가 서로소일 확률은? [4점] ①1118\displaystyle \frac{11}{18}②23\displaystyle \frac{2}{3}③1318\displaystyle \frac{13}{18}④79\displaystyle \frac{7}{9}⑤56\displaystyle \frac{5}{6}

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③

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해설

두 상자 A{\mathrm{A}}, B{\mathrm{B}}에서 각각 공을 임의로 한 개씩 꺼내는 경우의 수는 6×3=186 \times 3 = 18 상자 A{\mathrm{A}}에서 꺼낸 공에 적혀 있는 자연수를 aa, 상자 B{\mathrm{B}}에서 꺼낸 공에 적혀 있는 자연수를 bb라 하자. 두 자연수 aa, bb가 서로소인 경우를 순서쌍 (a,b)\left( a , b \right)로 나타내면 (ⅰ) b=7b = 7인 경우 77이 소수이므로 77은 11부터 66까지의 모든 자연수와 서로소이다. (1,7)\left( 1 , 7 \right), (2,7)\left( 2 , 7 \right), (3,7)\left( 3 , 7 \right), (4,7)\left( 4 , 7 \right), (5,7)\left( 5 , 7 \right), (6,7)\left( 6 , 7 \right)의 66가지 (ⅱ) b=8b = 8인 경우 8=238 = 2 ^{3}이므로 88은 22의 배수가 아닌 자연수와 서로소이다. (1,8)\left( 1 , 8 \right), (3,8)\left( 3 , 8 \right), (5,8)\left( 5 , 8 \right)의 33가지 (ⅲ) b=9b = 9인 경우 9=329 = 3 ^{2}이므로 99는 33의 배수가 아닌 자연수와 서로소이다. (1,9)\left( 1 , 9 \right), (2,9)\left( 2 , 9 \right), (4,9)\left( 4 , 9 \right), (5,9)\left( 5 , 9 \right)의 44가지 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)의 경우는 동시에 일어나지 않으므로 꺼낸 공에 적혀 있는 두 자연수가 서로소인 경우의 수는 6+3+4=136 + 3 + 4 = 13 따라서 구하는 확률은 1318\displaystyle \frac{13}{18}

태그

#확률#서로소

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