중학중학 미분류수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

세 정삼각형 보기

문제

그림과 같이 △ABC\triangle {\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{C}}의 세 변을 각각 한 변으로 하는 정삼각형을 △DBA\triangle {\mathrm{D}} \mathit{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{A}}, △EBC\triangle {\mathrm{E}} \mathit{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{C}}, △FAC\triangle {\mathrm{F}} \mathit{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{C}}라 하자. 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은?[4점]

<보 기>
ㄱ. ∠DBE=∠ABC\angle {\mathrm{D}} \mathit{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{E}} \mathit{=} \angle {\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{C}} ㄴ. DB‾=EF‾\displaystyle {\overline{{\mathrm{D}} \mathit{\mathrm{B}}}} = {\overline{{\mathrm{E}} \mathit{\mathrm{F}}}} ㄷ. ∠BAC=150∘\angle {\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{C}} \mathit{=} 150 ^\circ이면 AD‾=AF‾\displaystyle {\overline{{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{D}}}} = {\overline{{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{F}}}}이다.

①ㄱ②ㄷ③ㄱ, ㄴ④ㄴ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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③

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해설

[출제의도] 삼각형의 합동을 이용하여 도형의 성질을 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다. ㄱ. △DBE\triangle {\mathrm{D}} \mathit{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{E}}와 △ABC\triangle {\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{C}}에서 ∠DBE=60−∠EBA=∠ABC\angle {\mathrm{D}} \mathit{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{E}} \mathit{=} 60 - \angle {\mathrm{E}} \mathit{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{A}} \mathit{=} \angle {\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{C}}이다. (참) ㄴ. ΔDBE\Delta {\mathrm{D}} \mathit{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{E}}와 ΔABC\Delta {\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{C}}에서 DB‾=AB‾,BE‾=BC‾\displaystyle {\overline{{\mathrm{D}} \mathit{\mathrm{B}}}} = {\overline{{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{B}}}} , {\overline{{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{E}}}} = {\overline{{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{C}}}} ∠DBE=∠ABC\angle {\mathrm{D}} \mathit{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{E}} \mathit{=} \angle {\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{C}}이므로 ΔDBE≡ΔABC\Delta {\mathrm{D}} \mathit{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{E}} \mathit{\equiv} \Delta {\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{C}} (SAS{\mathrm{S}} \mathit{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{S}} 합동) ⋯⋯\cdots \cdots① ΔABC\Delta {\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{C}}와 ΔFEC\Delta {\mathrm{F}} \mathit{\mathrm{E}} \mathit{\mathrm{C}}에서 BC‾=EC‾,AC‾=FC‾\displaystyle {\overline{{\mathrm{\mathrm{B}}} \mathit{\mathrm{\mathrm{C}}}}} = {\overline{{\mathrm{\mathrm{E}}} \mathit{\mathrm{\mathrm{C}}}}} , {\overline{{\mathrm{\mathrm{A}}} \mathit{\mathrm{\mathrm{C}}}}} = {\overline{{\mathrm{\mathrm{F}}} \mathit{\mathrm{\mathrm{C}}}}} ∠ACB=60−∠ECA=∠FCE\angle {\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{C}} \mathit{\mathrm{B}} \mathit{=} 60 - \angle {\mathrm{E}} \mathit{\mathrm{C}} \mathit{\mathrm{A}} \mathit{=} \angle {\mathrm{F}} \mathit{\mathrm{C}} \mathit{\mathrm{E}}이므로 ΔABC≡ΔFEC\Delta {\mathrm{\mathrm{A}}} \mathit{\mathrm{\mathrm{B}}} \mathit{\mathrm{\mathrm{C}}} \mathit{\equiv} \Delta {\mathrm{\mathrm{F}}} \mathit{\mathrm{\mathrm{E}}} \mathit{\mathrm{\mathrm{C}}} (SAS{\mathrm{S}} \mathit{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{S}} 합동) ⋯⋯\cdots \cdots ② ①, ②에서 ΔDBE≡ΔFEC\Delta {\mathrm{D}} \mathit{\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{E}} \mathit{\equiv} \Delta {\mathrm{F}} \mathit{\mathrm{E}} \mathit{\mathrm{C}}이므로 DB‾=EF‾\displaystyle {\overline{{\mathrm{\mathrm{D}}} \mathit{\mathrm{\mathrm{B}}}}} = {\overline{{\mathrm{\mathrm{E}}} \mathit{\mathrm{\mathrm{F}}}}} (참) ㄷ. ΔDBE≡ΔABC≡ΔFEC\Delta {\mathrm{\mathrm{D}}} \mathit{\mathrm{\mathrm{B}}} \mathit{\mathrm{\mathrm{E}}} \mathit{\equiv} \Delta {\mathrm{\mathrm{A}}} \mathit{\mathrm{\mathrm{B}}} \mathit{\mathrm{\mathrm{C}}} \mathit{\equiv} \Delta {\mathrm{\mathrm{F}}} \mathit{\mathrm{\mathrm{E}}} \mathit{\mathrm{\mathrm{C}}} ∴DB‾=DA‾=EF‾\displaystyle \therefore {\overline{{\mathrm{\mathrm{D}}} \mathit{\mathrm{\mathrm{B}}}}} = {\overline{{\mathrm{\mathrm{D}}} \mathit{\mathrm{\mathrm{A}}}}} = {\overline{{\mathrm{\mathrm{E}}} \mathit{\mathrm{\mathrm{F}}}}}, DE‾=AC‾=AF‾\displaystyle {\overline{{\mathrm{\mathrm{D}}} \mathit{\mathrm{\mathrm{E}}}}} = {\overline{{\mathrm{\mathrm{A}}} \mathit{\mathrm{\mathrm{C}}}}} = {\overline{{\mathrm{\mathrm{A}}} \mathit{\mathrm{\mathrm{F}}}}} 즉, □AFED\square {\mathrm{\mathrm{A}}} \mathit{\mathrm{\mathrm{F}}} \mathit{\mathrm{\mathrm{E}}} \mathit{\mathrm{\mathrm{D}}}는 두 쌍의 대변의 길이가 각각 같으므로 평행사변형이다. ∠BAC=150∘\angle {\mathrm{B}} \mathit{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{C}} \mathit{=} 150 ^\circ이면 ∠DAF=90∘\angle {\mathrm{D}} \mathit{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{F}} \mathit{=} 90 ^\circ이므로 □AFED\square {\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{F}} \mathit{\mathrm{E}} \mathit{\mathrm{D}}는 직사각형이다. 따라서 AD‾=AF‾\displaystyle {\overline{{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{D}}}} = {\overline{{\mathrm{A}} \mathit{\mathrm{F}}}}가 항상 성립하는 것은 아니다. (거짓) 그러므로 ㄱ, ㄴ이 참이다.

태그

#합동#평행사변형#보기 판정

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