삼각형 외심

[출제의도] 삼각형의 외심의 성질을 이용하여 각의 크기를 구한다.

삼각형 ${\mathrm{ABC}}$의 외접원의 중심이 ${\mathrm{O}}$이므로 세 선분 ${\mathrm{OA}}$, ${\mathrm{OB}}$, ${\mathrm{OC}}$는 이 원의 반지름이다. 즉, $\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}}$$\displaystyle {= \overline{\mathrm{OB}}}$$\displaystyle {= {\overline{\mathrm{OC}}}}$ 삼각형 ${\mathrm{OAB}}$는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}}$$\displaystyle {= \overline{\mathrm{OB}}}$인 이등변삼각형이고 이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 같으므로 ${\angle \mathrm{OAB}}$${=}$${\angle \mathrm{ABO}}$ 삼각형 ${\mathrm{OCA}}$는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}}$$\displaystyle {= {\overline{\mathrm{OC}}}}$인 이등변삼각형이므로 ${\angle \mathrm{OCA}}$${=}$${\angle \mathrm{CAO}}$${= 52 ^\circ}$ 삼각형 ${\mathrm{OBC}}$는 $\displaystyle {{\overline{\mathrm{OB}}}}$$\displaystyle {= {\overline{\mathrm{OC}}}}$인 이등변삼각형이므로 ${\angle \mathrm{OBC}}$${=}$${\angle \mathrm{BCO}}$${= 17 ^\circ}$이고 ${\angle \mathrm{ABC}}$${= \angle \mathrm{ABO} + \angle OBC}$${= \angle \mathrm{ABO} + 17 ^\circ}$${= \angle \mathrm{OAB} + 17 ^\circ}$ ${\cdots \cdots}$ ㉠ ${\angle \mathrm{BCA}}$${= \angle \mathrm{BCO} + \angle OCA}$${= 17 ^\circ + 52 ^\circ}$ ${\cdots \cdots}$ ㉡ ${\angle \mathrm{CAB}}$${= \angle \mathrm{CAO} + \angle OAB}$${= 52 ^\circ + \angle \mathrm{OAB}}$ ${\cdots \cdots}$ ㉢ 삼각형 ${\mathrm{ABC}}$의 세 내각의 크기의 합은 ${180 ^\circ}$이므로 ${\angle \mathrm{ABC} + \angle \mathrm{BCA} + \angle \mathrm{CAB}}$${= 180 ^\circ}$ ㉠, ㉡, ㉢에서 ${2 \times \left( \angle \mathrm{OAB} + 17 ^\circ + 52 ^\circ \right) = 180 ^\circ}$ ${\angle \mathrm{OAB} + 17 ^\circ + 52 ^\circ = 90 ^\circ}$ 따라서 ${\angle \mathrm{OAB}}$${=}$${21 ^\circ}$