사다리꼴 합동

[출제의도] 삼각형의 합동을 이해하여 주어진 선분의 길이를 구한다.

두 직각삼각형 $\mathrm{ABM}$, $\mathrm{AHM}$에서 $\angle \mathrm{ABM} = \angle AHM = 90 ^\circ$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{BM}}} = {\overline{\mathrm{HM}}}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AM}}}$은 공통이므로 $\triangle \mathrm{ABM} \equiv \triangle AHM$ 두 직각삼각형 $\mathrm{MCD}$, $\mathrm{MHD}$에서 $\angle \mathrm{MCD} = \angle MHD = 90 ^\circ$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{CM}}} = {\overline{\mathrm{HM}}}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{DM}}}$은 공통이므로 $\triangle \mathrm{MCD} \equiv \triangle MHD$ 그러므로 $\mathrm{\square} ABCD$$= 2 \mathrm{\triangle} AHM + 2 \mathrm{\triangle} MHD$ $\mathrm{\triangle} AHM$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 4 \times \overline{\mathrm{A} H}$$\displaystyle = 2 \overline{\mathrm{A} H}$ $\mathrm{\triangle} MHD$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 4 \times \overline{\mathrm{H} D}$$\displaystyle = 2 \overline{\mathrm{H} D}$이므로 $\mathrm{\square} ABCD$$\displaystyle = 2 \times 2 \overline{\mathrm{A} H} + 2 \times 2 \overline{\mathrm{H} D}$ $\displaystyle = 4 ( \overline{\mathrm{A} H} + \overline{\mathrm{H} D} )$$\displaystyle = 4 \overline{\mathrm{A} D}$$= 36$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AD}}$$= 9$ [다른 풀이]

$\displaystyle \overline{\mathrm{B}} M = \overline{\mathrm{M}} H$, $\displaystyle \overline{\mathrm{A}} D \perp \overline{\mathrm{M}} H$이므로 선분 $\mathrm{BC}$를 지름으로 하는 반원은 점 $\mathrm{H}$에서 선분 $\mathrm{AD}$와 접한다. 선분 $\mathrm{AB} , AD , DC$는 모두 이 반원의 접선이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = {\overline{\mathrm{AH}}}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{DC}}} = {\overline{\mathrm{DH}}}$ 사다리꼴 $\mathrm{A} BCD$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \left( {\overline{\mathrm{AB}}} + {\overline{\mathrm{CD}}} \right) \times {\overline{\mathrm{BC}}}$$= 36$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BC}}} = 8$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} + {\overline{\mathrm{CD}}} = 9$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{A} D}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{AH}}} + {\overline{\mathrm{HD}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{AB}}} + {\overline{\mathrm{CD}}}$$= 9$ [참고] 두 삼각형은 다음 각 경우에 서로 합동이다. ① 세 쌍의 대응변의 길이가 각각 같을 때 ② 두 쌍의 대응변의 길이가 각각 같고, 그 끼인 각의 크기가 같을 때 ③ 한 쌍의 대응변의 길이가 같고, 그 양 끝 각의 크기가 각각 같을 때