평행사변형과 내심

평행사변형 ${\mathrm{ABCD}}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{DC}}} = {\overline{\mathrm{AB}}} = 16$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} = {\overline{\mathrm{BC}}} = 15$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{ED}}} = {\overline{\mathrm{CD}}} - {\overline{\mathrm{CE}}} = 16 - 6 = 10$ 두 삼각형 ${\mathrm{FEC}}$, ${\mathrm{AED}}$에서 $\angle {\mathrm{CEF}} = \angle {\mathrm{DEA}}$ (맞꼭지각), $\angle {\mathrm{FCE}} = \angle {\mathrm{ADE}}$ (엇각)이므로 두 삼각형 ${\mathrm{FEC}}$, ${\mathrm{AED}}$는 서로 닮은 도형이다. 닮음비는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CE}}} : {\overline{\mathrm{DE}}} = 6 : 10 = 3 : 5$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{FC}}} : {\overline{\mathrm{AD}}} = 3 : 5$이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} = 15$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{FC}}} = 9$ 그러므로 삼각형 ${\mathrm{FEC}}$는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{FE}}} = {\overline{\mathrm{FC}}} = 9$인 이등변삼각형이다. $\cdots$$\cdots$ ㉠ 두 삼각형 ${\mathrm{FEC}}$, ${\mathrm{FAB}}$에서 $\angle {\mathrm{EFC}}$는 공통이고, $\angle {\mathrm{FCE}} = \angle {\mathrm{FBA}}$ (동위각)이므로 두 삼각형 ${\mathrm{FEC}}$, ${\mathrm{FAB}}$는 서로 닮은 도형이다. 닮음비는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{FC}}} : {\overline{\mathrm{FB}}} = 9 - 24 = 3 : 8$ ㉠에 의하여 삼각형 ${\mathrm{FAB}}$는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{FA}}} = {\overline{\mathrm{FB}}} = 24$인 이등변삼각형이므로 각 ${\mathrm{AFB}}$의 이등분선은 선분 ${\mathrm{AB}}$를 수직이등분한다. 각 ${\mathrm{AFB}}$의 이등분선과 선분 ${\mathrm{AB}}$의 교점을 ${\mathrm{H}}$라 하면 삼각형 ${\mathrm{FAB}}$의 내심 ${\mathrm{I}}$는 선분 ${\mathrm{FH}}$ 위에 있다. 점 ${\mathrm{I}}$에서 두 변 ${\mathrm{BF}}$, ${\mathrm{FA}}$에 내린 수선의 발을 각각 ${\mathrm{L}}$, ${\mathrm{M}}$이라 하자. 삼각형 ${\mathrm{FAB}}$의 내접원의 반지름의 길이를 $r$이라 하면 삼각형의 내심의 성질에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{IH}}} = {\overline{\mathrm{IL}}} = {\overline{\mathrm{IM}}} = r$ $\triangle {\mathrm{ABF}}$$= \triangle {\mathrm{IAB}} + \triangle {\mathrm{IBF}} + \triangle {\mathrm{IFA}}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AB}}} \times r + \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{BF}}} \times r + \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{FA}}} \times r$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times \left( 16 + 24 + 24 \right) \times r$ $= 32 r$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ 직각삼각형 ${\mathrm{FAH}}$에서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}}} = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AB}}} = \frac{1}{2} \times 16 = 8$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{FA}}} = 24$이므로 피타고라스 정리에 의하여 $\displaystyle {\overline{\mathrm{FH}}} ^{2} = {\overline{\mathrm{FA}}} ^{2} - {\overline{\mathrm{AH}}} ^{2} = 24 ^{2} - 8 ^{2} = 512 = \left( 16 \sqrt{2} \right) ^{2}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{FH}}} = 16 \sqrt{2}$ 그러므로 $\triangle {\mathrm{ABF}}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times {\overline{\mathrm{AB}}} \times {\overline{\mathrm{FH}}}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} \times 16 \times 16 \sqrt{2} = 128 \sqrt{2}$ $\cdots$$\cdots$ ㉢ ㉡, ㉢에서 $\displaystyle 32 r = 128 \sqrt{2}$, $\displaystyle r = 4 \sqrt{2}$ 선분 ${\mathrm{FH}}$와 선분 ${\mathrm{EC}}$의 교점을 ${\mathrm{H}}'$이라 할 때, 선분 ${\mathrm{FH}}'$은 선분 ${\mathrm{EC}}$를 수직이등분한다. 두 삼각형 ${\mathrm{FEH}}'$, ${\mathrm{FAH}}$에서 $\angle {\mathrm{FH}}' {\mathrm{E}} = \angle {\mathrm{FHA}} = 90 ^\circ$이고, $\angle {\mathrm{H}}' {\mathrm{EF}} = \angle {\mathrm{HAF}}$ (동위각) 이므로 두 삼각형 ${\mathrm{FEH}}'$, ${\mathrm{FAH}}$는 서로 닮은 도형이다. 닮음비는 $\displaystyle {\overline{\mathrm{FE}}} : {\overline{\mathrm{FA}}} = 9 : 24 = 3 : 8$ $\displaystyle {\overline{{\mathrm{FH}}'}} : {\overline{\mathrm{FH}}} = 3 : 8$이므로 $\displaystyle {\overline{{\mathrm{FH}}'}} = \frac{3}{8} \times {\overline{\mathrm{FH}}} = \frac{3}{8} \times 16 \sqrt{2} = 6 \sqrt{2}$ $\displaystyle {\overline{{\mathrm{H}}' {\mathrm{I}}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{FH}}} - {\overline{\mathrm{IH}}} - {\overline{{\mathrm{FH}}'}}$$\displaystyle = 16 \sqrt{2} - 4 \sqrt{2} - 6 \sqrt{2}$$\displaystyle = 6 \sqrt{2}$ $\displaystyle {\overline{{\mathrm{FH}}'}} = {\overline{{\mathrm{H}}' {\mathrm{I}}}} = 6 \sqrt{2}$이므로 직선 ${\mathrm{DH}}'$은 선분 ${\mathrm{IF}}$의 수직이등분선이다. 삼각형 ${\mathrm{DIF}}$에서 변 ${\mathrm{FD}}$의 수직이등분선과 변 ${\mathrm{IF}}$의 수직이등분선의 교점이 ${\mathrm{J}}$이므로 점 ${\mathrm{J}}$는 삼각형 ${\mathrm{DIF}}$의 외심이다.

$\displaystyle {\overline{\mathrm{IJ}}} = {\overline{\mathrm{KJ}}}$이므로 점 ${\mathrm{K}}$는 삼각형 ${\mathrm{DIF}}$의 외접원 위에 있다. 원주각의 성질에 의하여 $\angle {\mathrm{FKD}} = \angle {\mathrm{FID}}$ $\tan \left( \angle {\mathrm{FKD}} \right)$$\displaystyle = \tan \left( \angle {\mathrm{FID}} \right) = \tan \left( \angle {\mathrm{H}}' {\mathrm{ID}} \right) = \frac{{\overline{{\mathrm{DH}}'}}}{{\overline{{\mathrm{IH}}'}}}$ $\displaystyle = \frac{{\overline{\mathrm{DC}}} - {\overline{{\mathrm{H}}' {\mathrm{C}}}}}{{\overline{{\mathrm{IH}}'}}}$$\displaystyle = \frac{16 - 3}{6 \sqrt{2}} = \frac{13 \sqrt{2}}{12}$ 따라서 $p = 12$, $q = 13$이므로 $p + q = 12 + 13 = 25$