외심과 넓이

점 ${\mathrm{O}}$는 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 외심이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}} = {\overline{\mathrm{OB}}} = {\overline{\mathrm{OC}}}$ 삼각형 $\mathrm{OAB}$는 이등변삼각형이고, 점 $\mathrm{O}$에서 선분 $\mathrm{AB}$에 내린 수선의 발이 점 $\mathrm{D}$이므로 직선 $\mathrm{OD}$는 선분 $\mathrm{AB}$를 수직이등분한다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{AD}}} = {\overline{\mathrm{BD}}}$이므로 $\triangle \mathrm{BDO} \mathit{=} \triangle \mathrm{ADO} \mathit{=} 6$이 되어 $\triangle \mathrm{ABO} \mathit{=} \triangle \mathrm{BDO} \mathit{+} \triangle \mathrm{ADO} \mathit{=} 12$ 두 삼각형 $\mathrm{ABO}$, $\mathrm{ACO}$에서 $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = {\overline{AC}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{OB}} = {\overline{OC}}$이고, 선분 $\mathrm{OA}$는 공통이므로 삼각형 $\mathrm{ABO}$와 삼각형 $\mathrm{ACO}$는 서로 합동이 되어 $\triangle \mathrm{ABO} \mathit{=} \triangle \mathrm{ACO} \mathit{=} 12$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AO}}} = 3 {\overline{\mathrm{OE}}}$이므로 $\triangle \mathrm{ABO} \mathit{=} 3 \times \triangle \mathrm{OBE} \mathit{=} 12$, $\triangle \mathrm{OBE} \mathit{=} 4$ $\triangle \mathrm{ACO} \mathit{=} 3 \times \triangle \mathrm{OCE} \mathit{=} 12$, $\triangle \mathrm{OCE} \mathit{=} 4$ 따라서 $\triangle \mathrm{ABC}$$= \triangle \mathrm{ABO} \mathit{+} \triangle \mathrm{ACO} \mathit{+} \triangle \mathrm{OBE} \mathit{+} \triangle \mathrm{OCE}$ $= 12 + 12 + 4 + 4$ $= 32$