내심과 평행선

[출제의도] 삼각형의 내심의 성질을 이용하여 선분의 길이를 구한다.

삼각형 $\mathrm{IDE}$가 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의해 $\displaystyle \mathrm{{\overline{ID}}} ^{2}$$\displaystyle = \mathrm{{\overline{EI}}} ^{2} + {{\overline{DE}}} ^{2}$ $\displaystyle 5 ^{2} = 3 ^{2} + {\overline{\mathrm{DE}}} ^{2}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{DE}} ^{2} = 5 ^{2} - 3 ^{2}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{DE}}$$\displaystyle = \sqrt{5 ^{2} - 3 ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{16}$$= 4$ 그림과 같이 두 점 $\mathrm{I}$와 $\mathrm{C}$를 연결하는 선분을 그리면 직선 $\mathrm{ID}$가 변 $\mathrm{BC}$에 평행하므로 $\mathrm{\angle} DIC = \mathrm{\angle} ICB$ $\cdots \cdots \text{㉠}$ 점 $\mathrm{I}$는 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 내심이므로 직선 $\mathrm{CI}$는 $\angle \mathrm{C}$를 이등분한다. 즉 $\mathrm{\angle} DCI = \angle ICB$ $\cdots \cdots \text{㉡}$ $\text{㉠}$, $\text{㉡}$에서 $\mathrm{\angle} DIC = \mathrm{\angle} DCI$ 따라서 삼각형 $\mathrm{DIC}$는 이등변삼각형이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{DI}}} = {\overline{\mathrm{CD}}} = 5$ 따라서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CE}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{CD}}} + {\overline{\mathrm{DE}}}$$= 5 + 4$$= 9$ [다른 풀이]

그림과 같이 두 점 $\mathrm{D}$, $\mathrm{I}$에서 변 $\mathrm{BC}$에 내린 수선의 발을 각각 $\mathrm{F}$, $\mathrm{G}$라 하자. $\mathrm{\angle} IED = \angle DFC = 90 \mathit{^\circ}$ 선분 $\mathrm{ID}$와 선분 $\mathrm{BC}$는 평행하므로 $\mathrm{\angle} EDI = \angle DCF$ 점 $\mathrm{I}$가 내심이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{IE}} = \overline{\mathrm{IG}} = \overline{\mathrm{DF}} = 3$ 따라서 두 삼각형 $\mathrm{IDE}$와 $\mathrm{DCF}$는 서로 합동이므로 $\displaystyle \mathrm{\overline{ID}} = \mathrm{\overline{CD}} = 5$ 직각삼각형 $\mathrm{IDE}$에서 피타고라스 정리에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{DE}} = 4$ 따라서 $\displaystyle {\overline{\mathrm{CE}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{DE}}} + {\overline{\mathrm{CD}}}$$= 4 + 5$$= 9$