꼭짓점 공유 이차함수

[출제의도] 이차함수의 그래프를 이해하여 조건을 만족시키는 값을 구한다.

$y$$= \mathit{-} x ^{2} - 2 x - 7$$= \mathit{-} \left( x + 1 \right) ^{2} - 6$ 이차함수 $y = \mathit{-} x ^{2} - 2 x - 7$의 그래프의 꼭짓점의 좌표는 $\left( \mathit{-} 1 , \mathit{-} 6 \right)$이다. 따라서 점 $\mathrm{A}$의 좌표는 $\left( \mathit{-} 1 , \mathit{-} 6 \right)$이다. 이차함수 $y = f \left( x \right)$를 $f ( x ) = a \left( x + 1 \right) ^{2} - 6$(단, $a$는 상수) 이라 하자. 조건 (나)에서 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이가 $12$이고 꼭짓점의 $y$좌표가 $- 6$이므로 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \mathrm{\overline{BC}} \times 6 = 12$에서 변 $\mathrm{BC}$의 길이는 $4$이다. 이차함수 $y = f ( x )$의 그래프는 직선 $x = \mathit{-} 1$에 대하여 대칭이므로 두 점 $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$의 좌표 중에 하나는 $\left( 1 , 0 \right)$, 다른 하나는 $\left( - 3 , 0 \right)$이다. 즉, $f ( 1 ) = 0$에서 $4 a - 6 = 0$ $\displaystyle a = \frac{3}{2}$ $\displaystyle f ( x ) = \frac{3}{2} \left( x + 1 \right) ^{2} - 6$이므로 $f ( 3 ) = 18$ [참고] <이차함수 $y = ax ^{2}$의 그래프> ① 원점을 꼭짓점으로 하고, $y$축을 축으로 하는 포물선이다. ② $a > 0$일 때 아래로 볼록하고, $a < 0$일 때 위로 볼록하다. ③ $a$의 절댓값이 클수록 포물선의 폭이 좁아진다. ④ 이차함수 $y = ax ^{2}$의 그래프와 $y = \mathit{-} ax ^{2}$의 그래프는 $x$축에 대칭이다. <이차함수 $y = a \left( x - p \right) ^{2} + q$의 그래프> ① 이차함수 $y = ax ^{2}$의 그래프를 $x$축의 방향으로 $p$만큼, $y$축의 방향으로 $q$만큼 평행이동한 것이다. ② 직선 $x = p$를 축으로 하고, 점 $\left( p , q \right)$를 꼭짓점으로 하는 포물선이다.