주사위 자료 분산

[출제의도] 대푯값의 뜻을 이해하여 조건을 만족시키는 자료를 추측하고 그 분산을 구한다. $9$개의 자료를 작은 수부터 순서대로 $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$, $g$, $h$, $i$라 하자. 조건 (가)에서 주사위의 모든 눈이 적어도 한 번씩 나왔고, 자료를 크기순으로 배열하였으므로 첫 번째 수 $a$는 $1$이고 마지막 수 $i$는 $6$이다. 따라서 $a = 1$, $i = 6$ 조건 (나)에서 중앙값이 $4$이므로 다섯 번째 수 $e$는 $4$이다. 이때 $a = 1$, $e = 4$이므로 $b$, $c$, $d$는 $1$, $2$, $3$, $4$ 중 어느 하나이고 조건에 의해 $1$, $2$, $3$, $4$ 중 하나의 수는 두 번 나와야 한다. 이 수를 $k$$( 1 \leq k \leq 4 )$라 하자. $k$가 두 번 나오고 조건 (나)에서 최빈값은 $6$뿐이므로 $6$은 세 번 이상 나와야 한다. 따라서 $g = 6$, $h = 6$, $i = 6$ 이고, $e = 4$이므로 조건 (가)에 의하여 $f = 5$ 그러므로 $9$개의 자료는 다음과 같다. $k$ ($1 \leq k \leq 4$), $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $6$, $6$ (나)에서 평균이 $4$이므로 $\displaystyle \frac{k + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 6 + 6}{9} = 4$ $k + 33 = 36$ $k = 3$ 따라서 $9$개의 자료는 $1$, $2$, $3$, $3$, $4$, $5$, $6$, $6$, $6$ 이고 이 자료의 평균이 $4$이므로 편차는 차례로 $- 3$, $- 2$, $- 1$, $- 1$, $0$, $1$, $2$, $2$, $2$ 이다. 그러므로 분산 $V$는 $V$$\displaystyle = \frac{( - 3 ) ^{2} + ( - 2 ) ^{2} + ( - 1 ) ^{2} + ( - 1 ) ^{2} + 0 ^{2} + 1 ^{2} + 2 ^{2} + 2 ^{2} + 2 ^{2}}{9}$ $\displaystyle = \frac{28}{9}$ 따라서 $\displaystyle 81 V = 81 \times \frac{28}{9} = 252$ [다른풀이] 조건 (가)에서 주사위의 모든 눈이 적어도 한 번씩 나왔으므로 $9$개의 자료를 $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $a$, $b$, $c$ ($a \leq b \leq c$)라 하자. 조건 (나)에서 중앙값이 $4$이므로 다섯 번째 수가 $4$이다. 따라서 $a \leq 4$이므로 $1$, $2$, $3$, $4$ 중에서 하나의 수는 두 번 나온다. 그런데 최빈값이 $6$뿐이므로 $6$은 $3$번 이상 나와야 한다. 따라서 $b = c = 6$ 주어진 자료의 평균이 $4$이므로 자료의 편차를 나열하면 $- 3$, $- 2$, $- 1$, $0$, $1$, $2$, $a - 4$, $2$, $2$ 이다. 편차의 합이 $0$이므로 $\left( - 3 \right) + \left( - 2 \right) + \left( - 1 \right) + 0 + 1 + 2 + ( a - 4 ) + 2 + 2 = 0$ $a = 3$ 편차를 다시 쓰면 $- 3$, $- 2$, $- 1$, $0$, $1$, $2$, $- 1$, $2$, $2$ 분산 $V$는 $V$$\displaystyle = \frac{( - 3 ) ^{2} + ( - 2 ) ^{2} + ( - 1 ) ^{2} + 0 ^{2} + 1 ^{2} + 2 ^{2} + ( - 1 ) ^{2} + 2 ^{2} + 2 ^{2}}{9}$ $\displaystyle = \frac{28}{9}$ 따라서 $\displaystyle 81 V = 81 \times \frac{28}{9} = 252$