중앙값과 최빈값

[출제의도] 대푯값을 이해하여 자료를 추측하고 자료의 평균을 구한다. 자료는 각 자율 동아리의 회원의 수로 구성되어 있으므로 주어진 자료는 $6$개의 자연수로 이루어져 있다. 자료를 작은 값부터 크기 순서대로 나열하였을 때 $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$ 가 된다고 하자. 조건 (가)에 의해 $a = 8$, $f = 13$ 자료의 개수가 짝수이고 조건 (나)에서 중앙값은 $10$이므로 자료 $c$와 $d$의 평균이 중앙값이다. 따라서 $\displaystyle \frac{c + d}{2} = 10$에서 $c + d = 20$ $\cdots \cdots \text{㉠}$ 여기서 $c = 8$, $d = 12$이거나 $c = 10$, $d = 10$일 때는 최빈값이 $9$가 될 수 없다. 따라서 조건 (나)에 의해 $\text{㉠}$을 만족시키는 $c$, $d$로 가능한 값은 $c = 9$, $d = 11$ 조건 (나)에서 최빈값은 $9$이므로 자료 중 $9$의 개수는 $2$이상이 되어야 한다. 따라서 $b = c = 9$ $\cdots \cdots \text{㉡}$ 한편 $e = 11$ 또는 $e = 13$이면 조건 (나)에서 최빈값이 $9$라는 조건에 맞지 않으므로 $e = 12$ 그러므로 자료의 평균 $m$은 $m$$\displaystyle = \frac{8 + 9 + 9 + 11 + 12 + 13}{6}$$\displaystyle = \frac{62}{6}$$\displaystyle = \frac{31}{3}$ 따라서 $12 m$$\displaystyle = 12 \times \frac{31}{3}$$= 124$