중앙값 평균 분산

[출제의도] 중앙값과 평균의 의미를 이해하여 자료의 변량을 추론하고 그 분산을 구한다. 자료의 개수가 ${8}$이므로 중앙값은 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하였을 때, 네 번째 변량과 다섯 번째 변량의 평균이다. ${a \leq b \leq c}$라 하자. ${a \leq 5}$이면 중앙값이 ${7}$이 될 수 없으므로 ${a > 5}$ 주어진 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 ${3}$, ${4}$, ${4}$, ${5}$, ${\cdots}$이므로 네 번째 변량은 ${5}$이다. 중앙값이 ${7}$이므로 ${a}$, ${b}$, ${c}$, ${12}$ 중 다섯 번째 변량은 ${a}$이고 $\displaystyle {\frac{5 + a}{2} = 7}$ ${a = 9}$ 한편, 평균이 ${7}$이므로 $\displaystyle {\frac{3 + 4 + 4 + 5 + 9 + 12 + b + c}{8} = 7}$ ${37 + b + c = 56}$에서 ${b + c = 19}$ ${9 \leq b \leq c}$이므로 ${b = 9}$, ${c = 10}$이다. 주어진 자료는 ${3}$, ${4}$, ${4}$, ${5}$, ${9}$, ${9}$, ${10}$, ${12}$이고 평균이 ${7}$이므로 이 자료의 편차는 차례로 ${- 4}$, ${- 3}$, ${- 3}$, ${- 2}$, ${2}$, ${2}$, ${3}$, ${5}$ 따라서 구하는 분산은 $\displaystyle {\frac{\left( - 4 \right) ^{2} + \left( - 3 \right) ^{2} + \left( - 3 \right) ^{2} + \left( - 2 \right) ^{2} + 2 ^{2} + 2 ^{2} + 3 ^{2} + 5 ^{2}}{8}}$${= 10}$