지수법칙과 최대공약수

$\left( 2 ^{a} \times 4 ^{a} \times 3 ^{b} \right) ^{n}$$= \left\{ 2 ^{a} \times \left( 2 ^{2} \right) ^{a} \times 3 ^{b} \right\} ^{n}$ $= \left( 2 ^{a} \times 2 ^{2 a} \times 3 ^{b} \right) ^{n}$ $= \left( 2 ^{3 a} \times 3 ^{b} \right) ^{n}$ $= \left( 2 ^{3 a} \right) ^{n} \times \left( 3 ^{b} \right) ^{n}$ $= 2 ^{3 an} \times 3 ^{bn} = 2 ^{72} \times 3 ^{36}$ $a$, $b$, $n$이 자연수이므로 $3 an = 72$, $bn = 36$ 즉, $an = 24$, $bn = 36$ $n$은 $24$와 $36$의 공약수이므로 $n$이 최대가 되는 경우는 $24$와 $36$의 최대공약수가 되는 경우이다. 따라서 자연수 $n$의 최댓값은 $12$