직육면체 부피가 자연수

[출제의도] 제곱근의 성질을 이용하여 직육면체의 부피가 자연수가 되는 실수의 값을 구한다. 세 모서리의 길이가 $1$, $a$, $\displaystyle \sqrt{2}$인 직육면체의 부피는 $\displaystyle 1 \times a \times \sqrt{2} = a \sqrt{2}$ 주어진 조건에서 직육면체의 부피가 자연수가 되어야 하므로 $\displaystyle a \sqrt{2} = n$ (단, $n$은 자연수) 이라 놓을 수 있다. $\displaystyle a = \frac{n}{\sqrt{2}} = \frac{n \sqrt{2}}{2}$ 주어진 조건에서 $a$는 $10$ 이하의 실수가 되어야 하므로 $\displaystyle \frac{n \sqrt{2}}{2} \leq 10$ $\displaystyle n \sqrt{2} \leq 20$ $\displaystyle n \leq \frac{20}{\sqrt{2}}$ 이때 $\displaystyle \frac{20}{\sqrt{2}} = \frac{20 \sqrt{2}}{2} = 10 \sqrt{2}$이므로 $\displaystyle n \leq 10 \sqrt{2}$ 위 부등식을 만족시키는 자연수 $n$의 값을 구하여 보자. $\displaystyle \left( 10 \sqrt{2} \right) ^{2} = 200$이고 $14 ^{2} = 196$, $15 ^{2} = 225$이므로 $\displaystyle 14 < 10 \sqrt{2} < 15$ 가 성립함을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle n \leq 10 \sqrt{2}$를 만족시키는 자연수 $n$은 $1$부터 $14$까지이므로 구하는 실수 $a$의 개수는 $14$이다.