접선과 현이 이루는 각

[출제의도] 원주각의 성질을 이용하여 각의 크기를 구한다.

원의 중심을 $\mathrm{O}$, $\angle \mathrm{CAB} = \mathit{x} ^\circ$라 하면 원주각의 성질에 의해 $\angle \mathrm{COB} \mathit{=} 2 \angle \mathrm{CAB} \mathit{=} 2 x ^\circ$ 삼각형 $\mathrm{O} BC$는 이등변삼각형이므로 $\angle {\mathrm{O} BC}$$= \angle {\mathrm{O} CB}$$\displaystyle = \frac{1}{2} ( 180 ^\circ - 2 x ^\circ )$$= 90 ^\circ - x ^\circ$ 원의 접선은 그 접점을 한 끝점으로 하는 반지름에 수직이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{P} C} \perp \overline{\mathrm{O} C}$ $\angle {\mathrm{B} CP}$$= 90 ^\circ - \angle {\mathrm{O} CB}$$= 90 ^\circ - ( 90 ^\circ - x ^\circ )$$= x ^\circ$

삼각형 $\ BPC$에서 한 외각의 크기는 그와 이웃하지 않는 두 내각의 크기의 합과 같으므로 $\angle \mathrm{ABC}$$= \mathit{(} x + 42 ) ^\circ$ 삼각형 $\mathrm{A} BC$는 $\displaystyle \overline{\mathrm{A} B} = \overline{\mathrm{A} C}$인 이등변삼각형이므로 $\angle \mathrm{ACB}$$= \angle \mathrm{ABC}$$= \mathit{(} x + 42 ) ^\circ$ 삼각형 $\mathrm{A} BC$의 내각의 크기의 합은 $180 ^\circ$이므로 $x ^\circ + \left( x + 42 \right) ^\circ + \left( x + 42 \right) ^\circ = 180 ^\circ$ 따라서 $x ^\circ = 32 ^\circ$ [다른 풀이]

$\angle \mathrm{CAB} = \mathit{x} ^\circ$, $\angle \mathrm{ABC} = \mathit{y} ^\circ$라 하면 위의 풀이에서 $\angle \mathrm{PCB}$$= \mathit{\angle} \mathrm{CAB}$$= \mathit{x} ^\circ$ 삼각형 $\mathrm{A} BC$는 $\displaystyle \overline{\mathrm{A} B} = \overline{\mathrm{A} C}$인 이등변삼각형이므로 $\angle \mathrm{ACB} = \mathit{y} ^\circ$ 삼각형 $\mathrm{A} BC$의 내각의 크기의 합은 $180 ^\circ$이므로 $x ^\circ + 2 y ^\circ = 180 ^\circ$ …… ㉠ 삼각형 $\mathrm{APC}$의 내각의 크기의 합은 $180 ^\circ$이므로 $x ^\circ + x ^\circ + y ^\circ + 42 ^\circ = 180 ^\circ$ $2 x ^\circ + y ^\circ = 138 ^\circ$ …… ㉡ ㉡$\times 2$$-$㉠을 하면 $3 x ^\circ = 96 ^\circ$ 따라서 $x ^\circ = 32 ^\circ$