접선과 할선으로 반지름

[출제의도] 할선과 접선의 길이 사이의 비례 관계를 활용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. 선분 $\mathrm{AB}$의 연장선을 그어 점 $\mathrm{B}$가 아닌 원 $\mathrm{O}$와의 교점을 $\mathrm{C}$라 하고, 선분 $\mathrm{AO}$의 연장선과 원 $\mathrm{O}$와의 교점을 각각 $\mathrm{D}$, $\mathrm{E}$라 하자.

$\displaystyle \mathrm{\overline{PT}} ^{2} = \overline{PB} \cdot \overline{PC}$이므로 $\displaystyle 6 ^{2} = 3 ( 3 + 5 + \mathrm{\overline{AC}} )$ $\displaystyle 36 = 24 + 3 \mathrm{\overline{AC}}$ $\displaystyle 3 \mathrm{\overline{AC}} = 12$ $\displaystyle \therefore \mathrm{\overline{AC}} = 4$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} = \mathit{r} - 2$, $\displaystyle \mathrm{\overline{AE}} = \mathit{r} + 2$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} \cdot \overline{AC} = \overline{AD} \cdot \overline{AE}$이므로 $5 \times 4 = ( r - 2 ) ( r + 2 )$ $20 = r ^{2} - 4$ $\therefore r ^{2} = 24$