정육면체 속 정사면체

[출제의도] 기둥과 뿔의 부피를 이용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. 정사면체의 부피는 정육면체의 부피에서 $4$개의 삼각뿔의 부피를 뺀 것과 같다. 정육면체 한 변의 길이를 $a$라 하면 (정육면체의 부피)=$a \times a \times a = a ^{3}$ (삼각뿔의 부피)=$\displaystyle \frac{1}{3} \times \left( \frac{1}{2} \times a \times a \right) \times a = \frac{a ^{3}}{6}$ (정사면체의 부피)=$\displaystyle a ^{3} - 4 \times \frac{a ^{3}}{6} = \frac{a ^{3}}{3}$ 따라서 정육면체와 정사면체의 부피의 비는 $\displaystyle a ^{3} : \frac{a ^{3}}{3} = 3 : 1$이다.