중학중학 미분류수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정삼각형과 탄젠트

문제

그림과 같이 ∠A=90∘\mathrm{\angle} A = 90 ^\circ, AB‾=AC‾=3\displaystyle \mathrm{\overline{AB}} = \overline{AC} = 3인 직각삼각형 ABC\mathrm{ABC}가 있다. 변 AB\mathrm{AB} 위의 두 점 D\mathrm{D}, E\mathrm{E}와 변 BC\mathrm{BC} 위의 점 F\mathrm{F}에 대하여 삼각형 DEF\mathrm{DEF}는 높이가 11인 정삼각형이다. ∠DCA=x\mathrm{\angle} DCA = \mathit{x}일 때, tan⁡x\tan x의 값은? (단, AD‾<AE‾\displaystyle \mathrm{\overline{AD}} < {\overline{AE}}) [4점]

①5−39\displaystyle \frac{5 - \sqrt{3}}{9}②6−39\displaystyle \frac{6 - \sqrt{3}}{9}③5−36\displaystyle \frac{5 - \sqrt{3}}{6}④7−39\displaystyle \frac{7 - \sqrt{3}}{9}⑤6−36\displaystyle \frac{6 - \sqrt{3}}{6}

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②

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해설

[출제의도] 도형의 성질을 이용하여 삼각비의 값을 구한다.

점 F\mathrm{F}에서 선분 DE\mathrm{DE}에 내린 수선의 발을 H\mathrm{H}라 하면 H\mathrm{H}는 선분 DE\mathrm{DE}의 중점이다. 조건에 의해 FH‾\displaystyle \mathrm{\overline{FH}}=1= 1이다. ∠BHF\mathrm{\angle} BHF=90∘= 90 ^\circ, ∠HBF=45∘\mathrm{\angle} HBF = 45 ^\circ이므로 삼각형 HBF\mathrm{HBF}는 직각이등변삼각형이다. 그러므로 BH‾\displaystyle \mathrm{\overline{BH}}=1= 1이 되어 HA‾\displaystyle \mathrm{\overline{HA}}=2= 2이다. 직각삼각형 FDH\mathrm{FDH}에서 ∠FDH=60∘\mathrm{\angle} FDH = 60 ^\circ, FH‾\displaystyle \mathrm{\overline{FH}}=1= 1이므로 HD‾\displaystyle \mathrm{\overline{HD}}=13\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{3}}=33\displaystyle = \frac{\sqrt{3}}{3}이다. 따라서 DA‾\displaystyle \mathrm{\overline{DA}}=HA‾−HD‾\displaystyle = \mathrm{\overline{HA}} - \overline{HD}=2−33\displaystyle = 2 - \frac{\sqrt{3}}{3}=6−33\displaystyle = \frac{6 - \sqrt{3}}{3} 따라서 tan⁡x\tan x=DA‾AC‾\displaystyle = \frac{\mathrm{\overline{DA}}}{\overline{AC}}=6−33×13\displaystyle = \frac{6 - \sqrt{3}}{3} \times \frac{1}{3}=6−39\displaystyle = \frac{6 - \sqrt{3}}{9}

태그

#삼각비#정삼각형

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